Sovellukset

Integrointia tarvitaan aina, kun halutaan laskea jonkin jatkuvasti jakautuneen (ei siis diskreetin) asian kokonaismäärä. Esimerkiksi tästä käy minkä tahansa kappaleen tilavuus tai vaikkapa kertynyt matka, silloin kun paikan funktio tunnetaan.

Lukiomatematiikassa tämä tarkoittaa pääsääntöisesti hankalampia pinta-ala- ja tilavuusintegraaleja. Lasketaan niitä tässä luvussa muutama, lisää esimerkkejä ratkaisuineen löydät pilvin pimein esimerkiksi vanhoista yo-tehtävistä.

Esimerkki 1: Laske r-säteisen pallon tilavuus integroimalla.

Aloitetaan katsomalla ympyrää

Ympyrän kehän pisteille pätee ympyrän yhtälö [tämä on helppo myös päätellä kuvasta]

Rakennetaan sitten pallo ottamalla ylempi puoliympyrä, eli y>0 ja pyöräyttämällä se x-akselin ympäri

Esimerkki 1: Voiman F(x) tekemä työ lasketaan [yhdessä ulottuvuudessa] voiman integraalina matkan suhteen

Jousen venyttämistä vastustava “harmoninen” voima määritellään

Missä k on jousen jousivakio ja x on poikkeama jousen tasapainoasemasta. Sovitaan tasapainoasema koordinaatiston nolla-arvoksi ja lasketaan työ, joka tehdään kun jousta venytetään tasapainoasemasta matkan s verran:

Tämä työ varastoituu jousen energiaksi, joten tälläiseen “harmoniseen värähtelijään” varastoitunut energia venymällä x on

Tälläisiä esimerkkejä on fysiikassa paljon. Muutoinkin on hyvä tietää, että yleisesti voiman lauseke on energian lausekkeen derivaatta paikan suhteen, energia on voiman integraali paikan suhteen.

Esimerkki 2: [yo pitkä s2002, lyhennetty tehtävänanto] Rakennuksen pohja on ympyrä, jonka halkaisija on 19,7 metriä. Rakennuksen poikkileikkaus on aina suorakulmio, jonka korkeus on puolet kannasta. Määritä rakennuksen tilavuus.

Asetetaan rakennus siten, että origo asettuu rakennuksen keskelle ja kuvassa näkyvät “kärjet” x-akselille. Tällöin katon kaaren päät asettuvat etäisyydelle 19,7/2 m =9,85 m origosta. Tällöin integrointialue on [-9,85 m, 9,85 m]. Koska tilavuus lasketaan integraalina

pitää meidän vielä rakentaa viipaleen pinta-alafunktio A(x). Rakennuksen pohja on 19,7 m-säteinen ympyrä, jolloin reunan etäisyys x-akselista (merkitään tätä y:llä) kohdassa x saadaan ympyrän yhtälöstä

Suorakulmion leveys kohdassa x on siis 2y ja korkeus puolet tästä eli y. Suorakulmion pinta-alafunktioksi saadaan

Näin ollen rakennuksen tilavuus saadaan laskettua integraalina [Huomaa, että positiivisilla ja negatiivisilla x-arvoilla saadaan sama tulos myös symmetrian perusteella]

Esimerkin integraali ei sinänsä ole kovin mielenkiintoinen. Pinta-alafunktion muodostaminen on kuitenkin hankalaa, joten huomaat että näitä kannattaa laskea monta päästäkseen hommaan kiinni.