Integraalifunktio

[Käsittelemme tällä kurssilla vain jatkuvia reaalifunktioita. Usein jatkuvuutta ei ole tekstissä erikseen mainittu, mutta pidä mielessä, että kurssilla käsiteltävät tulokset pätevät yleisesti vain jatkuville funktioille.]

Aiemmin on opittu derivoimaan funktioita. Tällöin sanotaan, että derivoidessa syntyy funktion f(x) derivaattafunktio f’(x). Esimerkiksi:

Joskus kysymys on toisinpäin, esim. Minkä funktion f(x) derivaattafunktio olisi g(x) = 2x?

Vastaus on tietenkin

Sanotaan, että tällöin f(x) on funktion g(x) integraalifunktio. Erilaiset termit menevät alussa helposti sekaisin, joten harjoitellaan vähän lisää.

Jos g(x) = 2x, sen derivaattafunktio on g’(x) = 2

f(x):n derivaattafunktio on g(x) ja g(x):n derivaattafunktio on h(x). h(x):n integraalifunktio on g(x) ja g(x):n integraalifunktio on f(x). g(x) on siis samalla f(x):n derivaattafunktio ja h(x):n integraalifunktio. Samalla tavoin kuin Leena voi olla sekä Maijan tytär, että Annan äiti. Anna on Maijan lapsenlapsi samalla tapaa kuin h(x) on f(x):n toinen derivaattafunktio.

Integraalifunktion löytäminen on siis derivaattafunktion löytämiselle käänteinen toimitus. Yksi huomio täytyy kuitenkin tehdä:

Derivaatasta tulee sama tulos riippumatta f(x):n vakiotermistä. Toisin sanoen kaikki yllä olevat erilaiset funktiot f(x) ovat funktion f’(x) = 2x integraalifunktioita. Jokaisella funktiolla onkin ääretön määrä integraalifunktioita, yksi jokaiselle mahdolliselle vakiotermille. Tätä kuvataan integrointivakiolla, jota merkitään tavallisesti C-kirjaimella:

Tässä on nyt kaikki funktion 2x integraalifunktiot. Yksittäisen integraalifunktion saat valitsemalla vakion C. Lisäksi usein on käytössä merkintätapa, jossa funktion f(x) integraalifunktiota merkitään isolla kirjaimella F(x). Tällöin F’(x) = f(x).

Huomaa, että funktiota f(x) derivoitaessa tulee derivaattafunktio f’(x) määritettyä yksikäsitteisesti. Funktiota integroitaessa taas ei saada yksikäsitteistä vastausta, vaan pitää vielä määrittää integrointivakio. Yleensä tähän käytetään jonkinlaista lisäehtoa, kuten seuraavassa esimerkissä.

Esimerkki 1: Etsi funktion f(x) = 4x se integraalifunktio F(x), joka toteuttaa ehdon F(0)=5.

Etsitään funktio, jonka derivaattafunktio on 4x

Funktion integraalifunktioden etsimistä kutsutaan integroinniksi ja sitä merkitään tyylitellyllä S-merkillä (selitämme myöhemmin miksi). Edellinen esimerkki voidaan kirjoittaa siis myös:

Integraalin lopussa on merkintä dx. Tällä ilmoitetaan minkä muuttujan suhteen integraali lasketaan. Useimmiten muuttuja on x, mutta joskus se voi olla joku muukin

Esimerkki 2:

Integraalifunktioita voi löytää arvaamalla, kuten näissä esimerkeissä, ja sen jälkeen tarkistaa tulos derivoimalla yhtälön oikeaa puolta. Hommaa nopeuttaa ja helpottaa, jos otetaan käyttöön joitakin integrointisääntöjä.

Näitä ovat mm. vakion ottaminen pois integraalin alta, sekä summan integraalisääntö:

Lisäksi aivan kuten derivointisääntöjen kohdalla, meillä on jokaiselle erilaiselle funktiolle oma integrointisääntö. Näitä käymme läpi seuraavissa luvuissa yksi kerrallaan.