Trigonometristen funktioiden derivaatat

Sinin derivaatta on kosini ja kosinin derivaatta on miinus sini, eli D sin(x)=cos(x) ja D cos(x)=-sin(x)

sin(x)

D sin(x)

cos(x)

D cos(x)

Esimerkki 1

Määritetään funktioiden derivaattafunktiot

Derivaatat ovat

Esimerkki 2

Määritä derivaatan arvo kohdassa 𝜋

Funktio koostuu kahden funktion tulosta. Käytetään tulon derivoimiskaavaa

Sijoitetaan derivaattaan 𝜋

Esimerkki 3

Määritä derivaattafunktion nollakohdat

Derivoidaan

Nollakohdat

missä n on jokin kokonaisluku.

Esimerkki 4

Määritä funktion ääriarvot

Derivoidaan funktio. Sinin derivaatta on kosini ja kosinin derivaatta on miinus sini. Lisäksi funktiossa termi, jossa on kosinin neliö on yhdistetty funktio.

Nollakohdat

Kosini on nolla kulmilla

Sini on yksi kulmilla

Derivaatta on positiivinen aina ennen 𝜋/2 kulman määräämiä nollakohtia ja negatiivinen tämän jälkeen ennen 3𝜋/2 määräämiä nollakohtia

g'(0)=2

g'(𝜋)=-2

Joten kohdissa 𝜋/2 + n2𝜋 funktiolla on maksimikohdat ja kohdissa 3𝜋 /2 + n2𝜋 funktiolla on minimikohdat.

Ääriarvot

Kuvassa funktion g(x) kuvaaja vihreänä ja derivaatan g'(x) kuvaaja punaisena.

Tangentin derivaatta

Tangentti määriteltiin

Tällöin tangentin derivaatta saadaan osamäärän derivoimissäännön avulla

Tangentin derivaatta ei ole määritelty kosinin nollakohdissa. Aivan kuten tangenttikaan.