Kosinilause

Mikäli kolmiosta tunnetaan kaikki sivut, mutta ei kulmia tai kaksi sivua ja näiden välinen kulma, ei sinilauseella saada ratkaistua kolmion muita osia.

Yläpuolisessa kolmiossa voidaan korkeus h sanoa kahdella tavalla pythagoraan lauseen avulla.

Tästä saadaan

Tämän lisäksi kolmiosta saadaan

Kun korvaamme x:n aikaisempaan yhtälöön, tulee se muotoon

Tämä on kosinilause.

Kokeile

Voit muuttaa kulman α kokoa liu'ulla ja kylkien kokoa vetämällä punaisesta kärkipisteestä.

Esimerkki 1

Ratkaise sivun x pituus

Käytetään kosinilausetta

Kyseessä on pituus, joten vain positiivinen vastaus kelpaa.

Esimerkki 2

Kolmion kahden sivun pituudet ovat 2,0 ja 3,0 sekä lyhyemmän sivun vastainen kulma on 30°. Laske kolmannen sivun pituus.


Hahmotellaan tilanne ja käytetään kosinilausetta

Ratkaisuja tuli kaksi ja molemmat kelpaavat. Annetuilla tiedoilla muodostuu kaksi mahdollista kolmiota.

Esimerkki 3

Lentokone lähti lentokentältä koiliseen ja 2,8 kilometrin jälkeen se kääntyi suoraan itään jatkaen neljä kilometriä. Kuinka kaukana lentokone oli tuolloin lentokentästä?

Lentoreitti ja etäisyys lentokentästä muodostavat oheisen mukaisen kolmion. Ratkaistaan etäisyys käyttäen kosinilausetta.

Vanhoja Yo-tehtäviä

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen

1. Kolmion ABC kulman C puolittaja leikkaa sivun AB pisteessä D. Pisteiden välisille etäisyyksille on voimassa CD = 6, AD = 4 ja DB = 3. Määritä kolmion sivujen AC ja BC pituuksien tarkat arvot.

Syksy 2013

AC=8, BC=6

2. Laske oheisessa kuvassa olevan kolmion sivun pituuden a tarkka arvo ja kaksidesimaalinen likiarvo.

√(13-6√3)≈1,61

3. Kaksi matkapuhelinmastoa näkyy paikkaan, jonka etäisyys toisesta mastosta on 5,27 km ja toisesta 3,16 km. Tähtäyssuunnat mastoihin muodostavat 72°50’ suuruisen kulman. Kuinka etäällä mastot ovat toisistaan? Etäisyydet mitataan vaakasuorasti, eikä maaston mahdollisia korkeuseroja oteta huomioon.

Kevät 2000

5,28 km

4. Suunnistaja lähti 1350 m päässä olevalle rastille suuntaan, joka poikkesi 4⁰ rastin suunnasta. Kuinka kaukana rastista suunnistaja oli juostuaan suoraan 1350 m?

Syksy 1997

94 m

Osion perustehtävät