Avaruusgeometria
Kulma avaruudessa
Esimerkki 1
Lasketaan suorakulmaisen särmiön avaruuslävistäjän sekä pohjan välinen kulma.
Ensin tulee laskea pohjan lävistäjä. Se saadaan pythagoraan lauseella.
Vain positiivinen kelpaa, koska kyseessä on pituus. Nyt saamme muodostettu suorakulmaisen kolmion, jossa kateetit ovat pohjan lävistäjä sekä korkeus särmä ja hypotenuusa on avaruuslävistäjä.
Kokeile
Voit käännellä alla olevaa suorakulmaista särmiötä pitämällä hiiren vasemman painikkeen painettuna. Saat klikattua näkyviin pohjalle ja avaruuslävistäjälle muodostuvat suorakulmaiset kolmiot.
Lieriö
Lieriö on kappale, jonka pohjat ovat samanmuotoiset. Lieriön korkeus on kohtisuora etäisyys pohjien välillä. Suoran lieriön vaippa avattuna muodostaa suorakulmion, jonka toinen sivu on korkeus ja toinen sivu pohjan piiri. Tilavuus saadaan kun kerrotaan pohjan pinta-ala korkeudella.
Lieriö on suora lieriö, jos sen akseli on kohtisuorassa pohjia vastaan.
Suoran ympyrälieriön pohja on ympyrä. Tällöin sen tilavuus ja vaipan ala saadaan seuraavasti.
Esimerkki 2
Suoran ympyrälieriön pohjan halkaisija on 20 cm ja korkeus 38 cm. Laske lieriön tilavuus litroina ja kokonaispinta-ala neliösenttimetreinä.
Koska 1 dm³ =1 l, muutetaan mitat desimetreiksi. 20 cm = 2 dm ja 38 cm=3,8 dm. Pohjan säde on 1 dm.
Tilavuus on siis 12 litraa.
Kokonaispinta-alaan kuuluu vaipan ala sekä kaksi pohjan alaa.
Mikäli lieriön pohjana on säännöllinen monikulmio, kutsutaan tätä särmiöksi. Esimerkissä 1 on lieriö, jonka pohja on suorakulmio. Tällöin se on suorakulmainen särmiö.
Kokeile
Voit käännellä alla olevaa suoraa ympyrälieriötä pitämällä hiiren vasemman painikkeen painettuna. Voit säätää pohjan sädettä ja lieriön korkeutta. Saat näkyviin tilavuuden ja vaipan alan laskut.
Kartio
Kartio on kappale, jonka pohjan reunoilta lähtevät sivujanat yhdistyvät samassa pisteessä. Kartion tilavuus on kolmososa vastaavakorkuisen lieriön tilavuudesta.
Kartio on suora, mikäli pohjan keskipiste on korkeusjanan toinen päätepiste.
Yleisin tarkastelun kohteena oleva kartio on suora ympyräkartio.
Kartion tilavuus
Suoran ympyräkartion vaippa tasoon avattuna muodostaa ympyräsektorin, jonka säteenä on kartion sivujana s. Haetaan sektorin ala. Sektorin kaaren pituus suhteessa koko ympyrän kaareen on yhtä suuri kuin pinta-alojen suhde.
Katkaistu kartio muodostuu kartiosta, jonka yläosasta on leikattu osa pois. Poistettu osa on yhdenmuotoinen vastaavan kokonaisen kartion kanssa.
Esimerkki 3
Suoran ympyräkartion pohjan halkaisija on 20 cm ja korkeus 50 cm. Laske kartion tilavuus ja vaipan ala.
Ratkaistaan sivujana s pythagoraan lauseen avulla.
Lasketaan tilavuus ja vaipan pinta-ala.
Pallo
Esimerkki 4
Helsingin sijainti on 60° pohjoista leveyttä. Kuinka kaukana päiväntasaajasta Helsinki sijaitsee? Maapallon ympärysmitta on noin 40 000 km. Kulma Helsingin ja päiväntasaajan välillä on siis 60°. Ratkaistaan vastaavan kaaren pituus. Merkitään kysytty etäisyys E.
Esimerkki 5 (Harjoitus)
Puolipallon sisällä on kuutio siten, että sen yksi sivutahko on puolipallon pohjatasolla ja vastakkaisen sivutahkon kärkipisteet ovat pallopinnalla. Kuinka monta prosenttia kuution tilavuus on puolipallon tilavuudesta?
YO 2010K/4
Voit klikata ratkaisun vaiheet näkyviin alapuolelta. Piirros päivittyy oikealle.
Vanhoja YO-tehtäviä
Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen
1. Vesikaukalon päädyt ovat tasasivuisen kolmion muotoiset, ja kolmion sivujen pituus on a. Kaukalon pohja koostuu kahdesta suorakulmion muotoisesta levystä, joiden pituus on b.
a) Vaakasuorassa oleva kaukalo on aluksi täynnä vettä. Sitä kallistetaan pituussuunnassa niin, että vedenpinta ulottuu vasemmanpuoleisen päätykolmion alakulmaan alla olevan kuvion mukaisesti. Kuinka monta prosenttia vedestä valuu pois kallistuksen aikana?
b) Tämän jälkeen kaukalo palautetaan takaisin vaakasuoraan asentoon. Kuinka korkealla vedenpinta on kaukalon syvimmästä kohdasta mitattuna?
Syksy 2016
a) 67%
b) a/2
2. Täysin pyöreän geenimanipuloidun omenan säde on 5,0 cm. Omenan läpi porataan sen keskeltä kulkeva reikä, jonka säde on 1,0 cm. Kuinka monta prosenttia omenan tilavuudesta tällöin häviää? Anna vastaus prosenttiyksikön kymmenesosan tarkkuudella.
Syksy 2015
5,9%
3. Öljysäiliö on suoran ympyrälieriön muotoinen, ja sen akseli on vaakasuorassa. Akselia vastaan kohtisuoran poikkileikkauksen halkaisija on 1,3 metriä.
a) Määritä säiliön pituus, kun sen tilavuus on 3 000 litraa.
b) Öljyn korkeudeksi syvimmässä kohdassa mitataan 40 senttimetriä. Ku inka monta litraa öljyä on jäljellä säiliössä?
Kevät 2015
a) Noin 2,3 m
b) Noin 784 l
4. Suoran ympyräkartion korkeus on 5,0 cm, ja sen pohjan säde on 2,0 cm. Kartio katkaistaan niin, että yläreunan säde on 1,0 cm. Tämän jälkeen katkaistun kartion vaippa maalataan siniseksi ja sitä pyöritetään kyljellään paperilla. Määritä näin saadun sinisen rengasalueen pinta-ala yhden neliösenttimetrin tarkkuudella.
Kevät 2012
68 cm²
5. Vinon pyramidin pohja on neliö, jonka sivu on a. Pyramidin kahden vastakkaisen sivutahkon kulmat pohjan kanssa ovat 30 ja 135 astetta (pyramidin sisäpuolelta mitattuina).
a) Laske pyramidin korkeus. (3 p.)
b) Määritä pyramidin tilavuus. (2 p.)
c) Kahden muun sivutahkon kulmat pohjan kanssa ovat keskenään yhtä suuret. Määritä tämä kulma asteen tarkkuudella. (4 p.)
Kevät 2009 Jokeritehtävä
a) h=½(√3+1)a
b) V=⅙(√3+1)a³
c) 70 astetta
6. Laske kuution avaruuslävistäjän AG ja sivutahkon lävistäjän AC suuntien välinen kulma 0,1 asteen tarkkuudella. Laske edelleen avaruuslävistäjän AG ja sivutahkon lävistäjän BD suuntien välinen kulma.
Kevät 2007
35,3 astetta ja 90 astetta
7. Suoran ympyrälieriön muotoisen litran mitan korkeus on 15 cm. Kuinka suuri on samanmuotoisen puolen litran mitan pohjan halkaisija?
Kevät 2002
7,3 cm
8. Neljästä desilitrasta savea muotoillaan kaksi palloa siten, että pienemmän tilavuus on puolet suuremman tilavuudesta. Mitkä ovat pallojen säteet?
Syksy 1999
3,2 cm ja 4,0 cm
Osion perustehtävät