Diskreetti jakauma

Kun muuttujan arvot voidaan luetella, on muuttuja diskreetti. Tällaisia ovat esimerkiksi arvosanat, äidinkieli, asuinpaikkakunta tai mikä tahansa muuttuja, jotka voidaan luetella.

Jatkuva muuttuja on esimerkiksi ikä tai aika tai vaikka asunnon pinta-ala. Tällaiset muuttujat saavat äärettömän monta arvoa, eikä kaikkia mahdollisia arvoja voida luetella. Mitä tarkemmin asiaa mittaa sitä tarkempia arvoja muuttuja saa. Pystytkö luettelemaan kaikki mahdolliset reaaliluvut lukujen 0 ja 1 välissä? Valitset mitkä tahansa kaksi vierekkäistä lukua, näiden välistä löytyy aina lukuja.

Esimerkki 1

Luokassa oli 30 oppilasta, joista 8 oppilaan äidinkieli oli suomi, 7 oppilaan absurdistan, 10 oppilaan gootti ja viiden akkadi.

Esitetään puhutut äidinkielet sopivalla diagrammilla. Äidinkielet voidaan helposti luetella, joten pylväsdiagrammi sopii tähän hyvin.

Esimerkki 2.

Säännöllisen tetraedrin muotoista noppaa heittämällä voi saada silmäluvuksi 1, 2, 3 tai 4. Nämä ovat kaikki yhtä todennäköisiä. Pelaaja heittää yhtä aikaa tetraedrin muotoista ja tavallista noppaa ja laskee silmälukujen summan.

a) Määritä kaikkien mahdollisten silmälukujen summien todennäköisyydet.

b) Määritä silmälukujen summan odotusarvo.

(YO K2014 Pitkä matematiikka)

Ratkaisu

Esimerkki 3.

Edellisen esimerkin noppien silmälukujen summa on diskreetti. Esitetään summien todennäköisyyksien jakauma pylväsdiagrammina.

Odotusarvo on satunnaismuuttujan odotettavissa oleva arvo. Odotusarvo lasketaan summana, jossa jokainen arvo kerrotaan sitä vastaavalla todennäköisyydellä ja nämä lasketaan yhteen.

Odotusarvoa merkitään isolla E-kirjaimella.

Esimerkki 3.

Ringettejoukkueen kolmen hyökkääjän todennäköisyydet tehdä maali rangaistuslaukauksella ovat 65 %, 75 % ja 54 %. Kukin kolmesta hyökkääjästä saa yhden yrityksen.

a) Millä todennäköisyydellä ainakin yksi hyökkääjä tekee maalin?

b) Laske rangaistuslaukausmaalien lukumäärän odotusarvo.

(YO K2012 Pitkä matematiikka)

Ratkaisu

Käytetään vastatapahtumaa. "Ainakin yksi maali" -tapahtuman vastatapahtuma on "ei yhtään maalia".

P(ainakin 1 maali) = 1 − P(ei yhtään maalia)

P(ei yhtään maalia) = (1 − 0,65)(1 − 0,75)(1 − 0,54) = 0,04025,

P(ainakin 1 maali) = 1 − 0,04025 = 0,95975 ≈ 0,96.

b) Olkoon P(n) todennäköisyys sille, että tulee n maalia.

Tällöin odotusarvo on

P(1) = 0,65(1 − 0,75)(1 − 0,54) + 0,75(1 − 0,65)(1 − 0,54) + 0,54(1 − 0,65)(1 − 0,75) = 0, 24275,

P(2) = 0,65 · 0,75(1 − 0,54) + 0,65 · 0,54(1 − 0,75) + 0,75 · 0,54(1 − 0,65) = 0,45375

P(3) = 0,65 · 0,75 · 0,54 = 0,26325.

Vastaus: a) 0,96, b) 1,94. (Eli tässä tapauksessa odotettavissa olevien maalien lukumäärä olisi 2)

Tämä mittaa satunnaismuuttujan arvojen vaihtelun suuruutta verrattuna odotusarvoon.

Lasketaan edellisen esimerkin maalien lukumäärän keskihajonta.

Tehtävät

1. Heitetään kahta noppaa ja lasketaan silmälukujen summat yhteen. Määritä summien todennäköisyydet ja odotusarvo.

2. Liisa-Petteri vastasi kokeeseen, jossa oli kahdeksan monivalintakysymystä. Oikeasta vastauksesta sai yhden pisteen ja väärästä -0,5 pistettä. Kysymyksissä oli neljä vastausvaihtoehtoa, joista yksi oli oikein. Liisa-Petteri vastaa kokeeseen arvaamalla. Mikä on hänen pistemääränsä odotusarvo?

3. Marja-Unto pelasi peliä, jossa valittiin neljä numeroa kymmenestä. Yksi kierros maksoi 2 euroa. Jos hän sai kaikki neljä oikein, voitti hän 10 euroa. Kolmella oikein voitti 5 euroa. Kahdella oikein sai 2 euroa ja yhdellä sai euron. Laske odotusarvo Marja-Unton yhden kierroksen voittosummalle. Arvioi Marja-Unton voittotilanne sadan pelin jälkeen.

4 . Eräässä tietokonepelissä pelaaja etenee ylimmälle tasolle oheisen kaavion mukaisesti ja saa kaavioon merkityn pistemäärän. Jokaisessa risteyksessä hän valitsee satunnaisesti yhden tasavertaisista vaihtoehdoista ja etenee seuraavalle tasolle ylöspäin.

a) Millä todennäköisyydellä pelaaja saavuttaa suurimman pistemäärän 40?

b) Määritä pistemäärän odotusarvo.

(YO2011S Pitkä matematiikka)