todennäköisyys
Todennäköisyyslaskennan historia nähdään alkaneen ranskalaisten matemaatikkojen Pierre Fermat (1601 – 1655) ja Blaise Pascal (1623 – 1662) uhkapeleihin liittyvästä kirjeenvaihdosta. Tästä historiallisesta syystä todennäköisyyslaskennan tehtävät liittyvät usein uhkapeleihin. On siis syytä tutkia esim. millaisia kortteja on korttipakassa ja mitä kuusisivuinen noppa tarkoittaa, jos ne eivät ole jo entuudestaan tuttuja. Uhkapelaamista en suosittele, ainakaan ellet pysty laskennallisesti todistamaan sen olevan kannattavaa.
Kokeile
Monty Hallin ongelma.
Yhden oven takana kolmesta on voitto. Kahden oven takana ei ole. Kilpailija valitsee yhden ovista. Tämän jälkeen jäljelle jääneistä ovista avataan yksi, jonka takana ei ole voittoa. Kilpailija saa vaihtaa valintansa tai sitten pitäytyä aiemmassa valinnassaan.
Kannattaako ovi vaihtaa? Onko todennäköisyys voittaa suurempi vaihtamalla ovi?
Kokeile miten se toimii alapuolelta. Valitse ovi, jonka jälkeen saat näkyviin yhden varmasti väärän oven. Tämän jälkeen voit vaihtaa tai pitäytyä valinnassa ja tarkistaa vastauksen. Kannattaa pelata useampi kierros sekä vaihtamalla, että pitäytymällä valinnassa.
Todennäköisyys
Tapahtuman A todennäköisyydellä tarkoitetaan tapahtuman A kannalta suotuisien vaihtoehtojen lukumäärän ja tilanteessa kaikkien mahdollisten vaihtoehtojen lukumäärän osamäärää (eli jakolaskua). Sitä merkitään P(A), missä P tulee englannin sanasta possibility ja sulkuihin kirjoitetaan tapahtuma, jonka todennäköisyyttä lasketaan.
Todennäköisyys P voi saada arvoja nollan (mahdoton tapahtuma) ja ykkösen (varma tapahtuma) väliltä.
Esimerkki 1. Laatikossa on neljä punaista, kuusi vihreää ja kolme keltaista palloa.
a) Millä todennäköisyydellä nostat laatikosta sokkona punaisen pallon?
b) Millä todennäköisyydellä nostat laatikosta sokkona ruskean pallon?
c) Millä todennäköisyydellä nostat laatikosta sokkona pallon?
Ratkaisu
a) Palloja on yhteensä 4+6+3=13
Tapahtuman “saadaan punainen pallo” kannalta suotuisia vaihtoehtoja on 4
Vastaus: Todennäköisyys saada punainen pallon on noin 0,31
b) Tapahtuman “saadaan ruskea pallo” kannalta suotuisia vaihtoehtoja on nolla kappaletta.
Vastaus: Todennäköisyys saada ruskea pallo on 0, eli kyseessä on mahdoton tapahtuma.
c) Tapahtuman “saadaan pallo” kannalta suotuisia vaihtoehtoja on 13 kappaletta.
Vastaus: Todennäköisyys saada pallo on 1, eli kyseessä on varma tapahtuma
Kokeile
Laatikossa on punaisia, vihreitä ja sinisiä palloja. Mikä on todennäköisyys, että pallo on tietyn värinen, kun palloista nostetaan umpimähkään yksi?
Voit muuttaa pallojen lukumäärää liu'uilla. Näet vieressä todennäköisyydet nostolle.
Esimerkki 2. Heitetään kahta kuusisivuista noppaa. Laske millä todennäköisyydellä
a) noppien silmälukujen summa on tasan seitsemän?
b) noppien silmälukujen summa on enemmän kuin seitsemän?
c) ainakin toinen nopista on silmäluvultaan vähintään 5.
Tehtävässä käytetään ajattelun apuna taulukkoa, johon listataan kaikki alkeistapaukset, eli kaikki mahdolliset vaihtoehdot.
a) Kaikkiaan alkeistapauksia eli eri vaihtoehtoja on 6 · 6 = 36 kappaletta. Tapahtuman “summa on 7” kannalta suotuisia alkeistapauksia on kuvan mukaisesti 6 kappaletta, joten
Vastaus: Todennäköisyys saada silmälukujen summaksi tasan seitsemän on noin 0,17.
b) Tapahtumien “summa > 7” kannalta suotuisien alkeistapauksien lukumäärä on 15, joten
Vastaus: Todennäköisyys, että silmälukujen summa on enemmän kuin seitsemän on noin 0,42
c) Tapahtuman “toinen nopista on ainakin 5” kannalta suotuisien alkeistapauksien lukumäärä on 20, joten
Vastaus: Todennäköisyys, että ainakin toinen nopista on silmäluvultaan vähintään 5 on noin 0,56
Esimerkki 3. Ylä-Ala-Härmälän päiväkodin lapset Marjut, Gunilla ja Benedictus yrittävät asettua jonoon pituusjärjestyksessä lyhyimmästä pisimpään. Heillä ei kuitenkaan ole mitään aavistusta siitä, mitä pituusjärjestys tarkoittaa, mutta osaavat kyllä mennä jonoon. Millä todennäköisyydellä pituusjärjestykseen asettuminen onnistuu?
Merkitään lapsia heidän etukirjaimillaan ja listataan kaikki mahdolliset vaihtoehdot:
MGB, GMB, GBM, BGM, BMG ja MBG. Kaikkiaan vaihtoehtoja on siis kuusi kappaletta. Järjestyksistä vain yksi on oikea, joten
Vastaus: Lapset asettuvat pituusjärjestykseen todennäköisyydellä 0,17
Vanhoja YO-tehtäviä
Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen
1. Pussissa on punaisia ja valkoisia palloja. Todennäköisyys sille, että väriä näkemättä valitsee punaisen pallon, on 0,4. Kuinka monta punaista palloa pussissa on, jos siinä on n kappaletta valkoisia palloja?
Syksy 2013
Punaisia 2/3n
2. Noppaa heitetään kaksi kertaa. Millä todennäköisyydellä
a) silmälukujen summa on vähintään kahdeksan?
b) silmälukujen summa on suurempi kuin niiden tulo?
Kevät 2013
a) 5/12 (0,42)
b) 11/36 (0,31)
Osion perustehtävät