Itseisarvoyhtälö
Mikä luku sopii x:n paikalle, kun |x|=4?
Itseisarvon määritelmän mukaan x on luku, jonka etäisyys nollasta on 4. Tällöin x=4 tai x=-4. Itseisarvoyhtälöstä saadaan yleensä kaksi ratkaisupolkua.
Esimerkki 1
Ratkaise x
|2x|=4
Määritelmän mukaan
2x=4 tai 2x=-4, josta saadaan, että x=2 tai x=-2.
Esimerkki 2
Ratkaise x
|3x-6|=9
Määritelmän mukaan
3x-6=9 tai 3x-6=-9, josta saadaan x=5 tai x=-1
Esimerkki 3
Ratkaise x
|4x-7|=-5
Itseisarvo on aina suurempi tai yhtäsuuri kuin 0, joten edellisellä yhtälöllä ei ole ratkaisuja.
Kokeile
Saat näkyviin itseisarvoyhtälön ratkaisun analyyttisesti sekä lukusuoralla.
Esimerkki 4
Ratkaise yhtälö
Muodostetaan kaksi yhtälöä määritelmän mukaan
Saadaan kaksi toisen asteen yhtälöä. Ensimmäisen ratkaisut ovat x=-2 tai x=3 ja jälkimmäisen ratkaisut ovat x=-1 tai x=2, eli alkuperäisen itseisarvoyhtälön ratkaisut ovat x=-2, x=-1, x=2 tai x=3
Yhtälö, jossa kahden funktion itseisarvot ovat yhtä suuret, toteutuu, kun funktioden arvot ovat yhtäsuuret tai vastaluvut.
Esimerkki 5
Ratkaise yhtälö
|2x-4|=|x-5|
Puretaan määritelmän mukaan kahdeksi yhtälöksi
2x-4=x-5 tai 2x-4=-(x-5)
Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan x=-1 ja toisesta x=3
Vanhoja YO-tehtäviä
Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen
1. Ratkaise yhtälö
Kevät 2011 (1c kohta)
x=0 tai x=8
2. Ratkaise yhtälö
Kevät 2008 (2c kohta)
x=-1 tai x=7/3
3. Ratkaise yhtälö
Kevät 1977 (Lyhyt)
x=1/2
4. Ratkaise yhtälö
Syksy 1982
x=6/5
Osion perustehtävät