Yhdistetyn funktion derivaatta

Yhdistetty funktio voidaan derivoida seuraavan säännön avulla

Tätä kutsutaan ketjusäännöksi. Yhdistetyn funktion derivaatta on siis ulkofunktion derivaatta u' kohdassa s(x) kertaa sisäfunktion derivaatta s'.

Esimerkki 1

Derivoi funktio

Tunnistetaan funktio yhdistetyksi funktioksi. Ulko- ja sisäfunktiot ovat

Näiden derivaatat ovat

Funktio f derivaatta ketjusäännön avulla

Esimerkki 2

Derivoi funktio

Funktion ulko- ja sisäfunktiot

Derivaatta ketjusäännön avulla

Esimerkki 3

Määritä funktio f derivaatan nollakohdat

Funktio muodostuu kahden funktion tulosta, joista toinen on yhdistetty funktio. Käytetään tulon derivoimiskaavaa

Jälkimmäiseen funktioon sovelletaan ketjusääntöä. Tällöin derivaatta on

Derivaatan molemmissa termeissä on yhteisinä tekijöinä

Otetaan yhteinen tekijä, jolloin saadaan

Derivaatan nollakohdat saadaan tulon nollasäännöllä

Tästä nollakohdat ovat