Tuloperiaate

Johdanto-esimerkki. Kuinka monta erilaista asukokonaisuutta Per-Ulf Heiskanen voi laittaa aamulla ylleen, kun hänellä on kaksi sukkaparia, kolmet housut ja kaksi paitaa mistä valita?

Muodostetaan tilanteesta kuva, joka havainnollistaa tuloperiaatteen ideaa:

Kuvassa S = sukkaparit, H = housut ja P = paidat.

Kuvan jokainen “reitti” tarkoittaa yhtä asukokonaisuutta. Asukokonaisuuksia on siis yhteensä 12 kpl. Tuloperiaatteen mukaan lasku voidaan laskea kertomalla jokaisen vaiheen vaihtoehtojen lukumäärät keskenään, eli

Kokeile

Voit muuttaa hattujen määrää välillä 2 - 20 ja kaulaliinojen määrää välillä 2-10

Esimerkkitehtävä 1. Per-Ulf heiskanen on innokas vakioveikkauksen pelaaja. Laske Per-Ulfin puolesta seuraavat tehtävät. Vakioveikkauksessa rivejä on yhteensä 13 ja jokaisessa voit valita kolmesta vaihtoehdosta

1 = Kotijoukkue voittaa

X = Tasapeli

2 = Vierasjoukkue voittaa

a) Montako erilaista vakioveikkausriviä on mahdollista tehdä?

b) Millä todennäköisyydellä Per-Ulf veikkaa kaikki oikein?

c) Millä todennäköisyydellä Per-Ulf veikkaa kaikki väärin?

d) Millä todennäköisyydellä Per-Ulf veikkaa ainakin yhden rivin oikein?


a) Vakioveikkausrivejä on mahdollista tehdä

Vastaus: Vakioveikkausrivejä on 1594323 erilaista.

b) Rivejä joissa on kaikki vastaukset oikein voi olla vain yksi kappale, joten

Vastaus: Todennäköisyys saada kaikki oikein on noin 0,00000063.

c) Jokaisessa rivissä on kaksi mahdollisuutta valita väärin, joten tuloperiaatteen mukaan rivejä, joissa on kaikki värin, on olemassa

Todennäköisyys, että yksikään veikkaus ei mene oikein, on

Vastaus: Todennäköisyys saada kaikki väärin on 0,0051

d) Lasketaan tehtävä vastatapahtuman avulla.

P("ainakin yksi oikein")=1-P("ei yhtään oikein")≈ 0,99

Vastaus: Todennäköisyys saada ainakin yksi rivi oikein on noin 0,99

Järjestysten lukumäärä ja kertoma n!

Jos joukossa on n monta alkiota, niin se voidaan järjestää jonoon n! (luetaan n kertoma) erilaisella tavalla.

Esimerkkitehtävä 2. Perheessä viisi lasta, joista kaksi on poikia ja loput tyttöjä.

a) Monellako eri tavalla perheen viisi lasta voivat asettua jonoon?

b) Montako sellaista jonoa voidaan muodostaa, missä tytöt ovat peräkkäin?


a)

Pohdintaa:

  1. Kun valitaan ensimmäinen lapsi jonoon, on 5 vaihtoehtoa mistä valita.

  2. Kun valitaan toinen lapsi jonoon, on jäljellä 4 vaihtoehtoa jäljellä mistä valita.

  3. Kun valitaan kolmas lapsi jonoon, on jäljellä 3 vaihtoehtoa mistä valita

  4. Kun valitaan neljäs lapsi jonoon, on jäljellä 2 vaihtoehtoa mistä valita

  5. Kun valitaan viides, eli viimeinen lapsi jonoon, on enää yksi vaihtoehto jäljellä.

Tuloperiaatteen mukaan, jokaisen vaiheen vaihtoehtojen lukumäärä kertotaan keskenään, eli

Vastaus: Lapset voivat asettua jonoon yhteensä 120:llä eri tavalla.

b)

Pohdintaa:

Mietitään aluksi montako erilaista tapaa on tyttöjen olla peräkkäin. Pohdinnassa T = tyttö ja P = poika. Luetellaan eri vaihtoehdot. TTTPP, PTTTP ja PPTTT. Vaihtoehtoja on yhteensä kolme.

Tytöt voivat asettua 3! eri järjestyksessä ja pojat puolestaan 2! eri järjestyksessä. Yhteensä eri vaihtoehtoja on siis tuloperiaatteen mukaan 3 · 3! · 2! = 36 kappaletta.

Vastaus: Lapset voivat asettua jonoon, niin, että tytöt ovat peräkkäin 36:lla eri tavalla.

Esimerkkitehtävä 3. Monellako eri tavalla voidaan valita Ylä-Härmälän kunnan hallitukseen puheenjohtaja, varapuheenjohtaja ja sihteeri, kun kunnanhallituksessa on 20 jäsentä mistä valita.

Pohdintaa:

  1. Vaihtoehtoja on 20 valita puheenjohtaja

  2. Vaihtoehtoja on 19 valita varapuheenjohtaja

  3. Vaihtoehtoja on 18 valita sihteeri

Tuloperiaatteen mukaan vaihtoehtoja on yhteensä 20 · 19 · 18 = 6840 kappaletta.

Vastaus: Vaihtoehtoja on yhteensä 6840 kappaletta.

Osajoukkojen lukumäärä

Kun joukosta valitaan alkioita niin, että niiden järjestyksellä ei ole väliä, puhutaan osajoukoista eli eri kombinaatioista.


Johdanto-esimerkki. Kuinka monella tavalla seitsemän oppilaan joukosta voidaan valita kolmen opiskelijan ryhmä.

  1. 7 oppilasta voidaan asettaa 7! eri järjestykseen.

  2. Tehtävässä meitä kiinnostaa valita vain kolmen oppilaan ryhmä, joten loput (7-3)! järjestystä voidaan jakaa pois laskuista. kolmen oppilaan järjestyksiä on siis yhteensä 7! jaettuna (7-3)! kappaletta.

  3. Kolmen hengen ryhmä voidaan valita 3! eri järjestyksessä. Kun puhutaan ryhmistä, valintojen järjestyksellä ei ole väliä, joten erilaisia kolmen hengen ryhmiä on mahdollista valita

Vastaus: On 35 eri tapaa valita kolmen oppilaan ryhmä.

Yleistetään johdanto-esimerkki ja lasketaan kuinka monta erilaista r alkion osajoukkoa voidaan muodostaa joukosta, jossa on kaikkiaan n alkiota.

Jatkossa edellinen tehtävä lasketaan yksinkertaisesti seuraavasti

n = ryhmän alkioiden kokonaismäärä

r = kuinka monen alkion ryhmä halutaan n-alkioiden ryhmästä valita.

Lasku luetaan n yli r:n eli tässä tilanteessa seitsemän yli kolmen. Vastaukseksi saadaan kuinka monella tavalla voidaan seitsemästä alkiosta valita kolmen alkion ryhmä.

Osajoukkojen määrä laskimella.

Osajoukkojen määrä saadaan selville laskimesta riippuen esim. seuraavilla komennoilla

  1. CAS laskimella komento on yleensä nCr(n,r).

  2. Funktiolaskimissa löytyy nCr näppäin ja komentoketju menee n + nCr-näppäin + r.

Tarkista edellisen johdanto-esimerkin tulos laskemalla se laskimella.


Esimerkkitehtävä 4. Kuinka monella tavalla voidaan valita 30 oppilaasta kolmen hengen ryhmä?

n = 30 (paljonko ryhmässä on kaikkiaan jäseniä)

r = 3 (kuinka monen jäsenen ryhmä halutaan valita)


Vastaus: 30 oppilaan joukosta voidaan valita kolmen hengen ryhmä 4060:llä eri tavalla.

Esimerkkitehtävä 5. Millä todennäköisyydellä saat pokeripelissä kolme ässää heti ensimmäisellä jaolla? Pokerissa sinulle jaetaan ensimmäisessä jaossa viisi korttia käteen.

Kuinka monella tavalla voidaan valita neljästä ässästä kolme:

Kuinka monella tavalla kaksi muuta korttia voidaan valita:

Kuinka monella tavalla viiden kortin ryhmä voidaan kaikkiaan valita:

Todennäköisyys lasketaan suotuisien viiden kortin ryhmien ja kaikkien mahdollisten viiden kortin ryhmien osamääränä. Tuloperiaatteen mukaan suotuisia ryhmiä on

Joten todennäköisyys on

Vastaus: Todennäköisyys, että saadaan pokerissa kolme ässää heti ensimmäisellä jaolla on noin 0,0017.

Vanhoja YO-tehtäviä

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen

1. Hajamielinen professori muistaa ystäviensä ovikoodista vain, että se koostuu neljästä erisuuresta parittomasta numerosta.

a) Kuinka monta koodia hän joutuu huonoimmassa tapauksessa (enintään) kokeilemaan, jos hän käy systemaattisesti läpi kaikki vaihtoehdot?

b) Parin vuoden käyntien jälkeen professori huomaa koodissa seuraavan ominaisuuden: siinä ei ole numeroa 9 eikä peräkkäin “vierekkäisiä” parittomien numeroiden (1 ja 3, 3 ja 1, 3 ja 5, 5 ja 3, 5 ja 7, 7 ja 5, 7 ja 9 tai 9 ja 7) yhdistelmiä. Kuinka monta koodia pitää huonoimmassa tapauksessa kokeilla, kun otetaan huomioon myös nämä lisätiedot?

Kevät 2016

a) 120

b) 2

2. Sarjakuvanäyttelyn lipun hinta on 5 €, mutta lipunmyyjä on unohtanut ottaa mukaan vaihtorahaa. Lippujonossa on neljä asiakasta, joista kullakin on vain yksi seteli. Kahdella on 5 €:n seteli ja kahdella muulla 10 €:n seteli. Kuinka suurella todennäköisyydellä asiakkaat ovat sellaisessa järjestyksessä, että lipunmyyjä voi antaa heti jokaiselle oikean vaihtorahan?

Kevät 2014

1/3

3. Värisävy esimerkiksi www-sivulla voidaan ilmoittaa kuusimerkkisellä RGB-koodilla, joka sisältää tiedon sävyn muodostavien perusvärien punainen (Red), vihreä (Green) ja sininen (Blue) määristä. Kunkin perusvärin määrä ilmoitetaan kahdella peräkkäin kirjoitetulla merkillä, jotka valitaan joukosta

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f.

Laske, kuinka monta erilaista värisävyä RGB-koodilla voidaan ilmaista.

Syksy 2011

16 777 216

4. Verkkopankkiin kirjaudutaan niin, että ensin annetaan kuuden numeron pituinen käyttäjätunnus ja neljän numeron pituinen salasana, minkä jälkeen annetaan vielä neljän numeron pituinen kertakäyttötunnus. Jokaisella pankin asiakkaalla on eri käyttäjätunnus, mutta usealla asiakkaalla voi olla sama salasana ja kertakäyttötunnus.

a) Jos verkkopankilla on 600 000 asiakasta, niin mikä on todennäköisyys sille, että yhdellä arvauksella löytää jonkun asiakkaan käyttäjätunnuksen?

b) Mikä on todennäköisyys sille, että yhdellä yrityksellä pääsee kirjautumaan verkkopankkiin?

Syksy 2010

a) 0,6

b) 0,000000006

5. Ranskalaisen Louis Braillen vuonna 1825 kehittämä pistekirjoitus on kohokirjoitusta, jota luetaan sormin. Pistekirjoitusjärjestelmässä kutakin merkkiä kohti on käytettävissä kuusi kiinteää paikkaa, joihin voidaan asettaa yhdestä kuuteen pistettä. (Esimerkkinä kuviossa on kirjain W.) Kuinka monta erilaista merkkiä järjestelmässä voidaan esittää?

Kevät 2007

63

6. a)Kuinka monta erilaista istumajärjestystä voidaan muodostaa luokassa, jossa on 30 oppilasta ja 30 pulpettia? b) Kuinka monella tavalla kolme tyhjää pulpettia voidaan valita luokassa, jossa on 27 oppilasta ja 30 pulpettia? Kuinka monta erilaista istumajärjestystä on tässä luokassa? c) Kuinka monta vuotta tietokoneelta kuluisi, jos se kävisi läpi a-kohdan erilaiset istumajärjestykset käsitellen biljoona (1012) istumajärjestystä sekunnissa? Yksi vuosi on keskimäärin 365,25 vuorokautta.

Syksy 2006

a) 30!

b) 30nCr3, Istumajärjestyksiä 30nPr27

c) 8 400 000 000 000 vuotta

7. Nations League -jalkapalloturnaus järjestettiin ensimmäisen kerran vuonna 2018. Turnauksessa pelataan seuraavien sääntöjen mukaan:

  • Joukkueet on jaettu neljään liigaan: A, B, C ja D.

  • Molemmissa liigoissa A ja B on 12 joukkuetta, jotka on jaettu neljään kolmen joukkueen lohkoon.

  • Molemmissa liigoissa C ja D on 15 joukkuetta, jotka on jaettu yhteen kolmen joukkueen ja kolmeen neljän joukkueen lohkoon.

  • Jokaisessa lohkossa kukin joukkue pelaa lohkon kaikkia muita joukkueita vastaan kaksi kertaa: yhden kotipelin ja yhden vieraspelin.

  • Liigan A neljä lohkovoittajaa pelaavat lopputurnauksen, jossa on kaksi välieräottelua, yksi pronssiottelu sekä loppuottelu.

Kuinka monta ottelua pelataan yhdessä Nations League -turnauksessa?

Kevät 2020

136

Osion perustehtävät