Kolmiot

Kolmion ominaisuuksia

Kolmiossa on kolme kulmaa ja kolme sivua. Kolmion kulmien summa on 180 astetta.

Tasakylkinen kolmio on kolmio, jossa kyljet ovat yhtä pitkät. Tällöin myös kantakulmat ovat yhtä suuret. Yläpuolisista kolmioista ensimmäinen on tasakylkinen kolmio. Sen kyljet ovat 8 ja kantakulmat ovat 67 astetta. Kulmaa α kutsutaan huippukulmaksi ja sen suuruus on

Toinen kolmio yläpuolella on tasasivuinen kolmio, jossa jokainen sivu on yhtä pitkä. Tällöin myös jokainen kulma on yhtäsuuri, eli kulmat ovat 60 astetta tasasivuisessa kolmiossa.

Kolmion korkeus

Kolmion korkeus on aina kohtisuora etäisyys kärkipisteestä sen vastakkaiseen sivuun. Korkeutta merkitään yleensä kirjaimella h

Kokeile

Kolmion korkeusjanat leikkaavat samassa pisteessä. Voit muuttaa kolmion kokoa vetämällä kolmion kärjistä.

Kulmanpuolittajat

Kulmanpuolittaja jakaa kulman kahdeksi yhtäsuureksi kulmaksi.

Kulmanpuolittajasuorat jakavat kulman vastakkaisen sivun viereisten sivujen suhteessa. Voit muutta kolmion kokoa ja muotoa vetämällä kolmion kärjistä.

Kulmanpuolittajien leikkauspiste on kolmion sisälle piirretyn ympyrän keskipiste.

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmaisessa kolmiossa yhden kulman suuruus on 90 astetta.

Pisintä sivua kutsutaan hypotenuusaksi ja lyhempiä sivuja kateeteiksi. Eli yläpuolisessa kuviossa kateetit a ja b sekä hypotenuusa c.

Trigonometriset funktiot

Suorakulmaisen kolmion kulmilla ja sivuilla on yhteys. Kulman sini on kulman vastaisen kateetin suhde hypotenuusaan, kosini on kulman viereisen kateetin suhde hypotenuusaan ja tangentti on kulman vastaisen kateetin suhde viereiseen kateettiin.

Esimerkki 1

alapuolisessa kolmiossa on kateettien pituudet 3 ja 4 sekä hypotenuusa 5

Kokeile

Voit muuttaa kolmion kokoa vetämällä kolmion kärjistä. Saat sinin, kosinin ja tangentin näkymään molempien terävien kulmien suhteen klikkaamalla painiketta.

Jokaisella trigonometrisella funktiolla on käänteisfunktio. Niitä kutsutaan arkusfunktioiksi - arkussini, arkuskosini ja arkustangentti. Kulman määrittämisessä tarvitsemme näitä arkusfunktioita. Laskimissa ne on merkittynä yleensä potenssilla -1.

Lasketaan edellisen kolmion kulman 𝞪 suuruus.

Samaan tulokseen päädyttäisi myös käyttäen kosinia tai tangenttia.

Esimerkki 2

Laske sivun x pituus

Hypotenuusa tunnetaan ja kulman vastaista kateettia kysytään. Käytetään siniä.

Esimerkki 3

Laske sivun x pituus

Viereinen kateetti tunnetaan ja vastaista haetaan. Käytetään tangenttia.

Vanhoja YO-tehtäviä

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen

1. Suorakulmaisen kolmion toinen terävä kulma on 30 astetta. Kolmion hypotenuusan keskipisteeseen piirretään kuvion mukaisesti kohtisuora jana, jonka toinen päätepiste sijaitsee kolmion kateetilla. Laske niiden kahden osan pituuksien suhde, joihin kohtisuora jakaa kateetin.

Kevät 2018

Suhde on 2

2. Viisi kilometriä pitkän rantaa pitkin kulkevan suoran tieosuuden alkupisteessä kulkija näkee majakan etuviistossa 65 asteen kulmassa tiehen nähden. Tieosuuden loppupisteessä hän näkee saman majakan takaviistossa 54 asteen kulmassa tiehen nähden. Kuinka etäällä majakka on tiestä? Mikä tien piste on lähinnä majakkaa?

Syksy 2007

Majakan etäisyys noin 4,2 km, lähin piste 1,95 km tien alusta.

3. Kuvion suorakulmaisessa kolmiossa on toisen kateetin projektio hypotenuusalle yhtä pitkä kuin toinen kateetti: AD = BC = a. Määritä kolmion kulmat asteen tarkkuudella.

Kevät 2005

52 astetta ja 38 astetta

4. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusalle piirretty korkeusjana jakaa hypotenuusan suhteessa 3 : 7. Määritä kateettien pituuksien suhde.

Kevät 2004

√3:√7

5. Tasaisella maanpinnalla sijaitsevan tornin huippu näkyy eräästä paikasta katsottuna 3,5 asteen kulmassa vaakasuoraan tasoon nähden. Tasan puoli kilometriä kauempaa katsottuna kulma on 2,5 astetta. Mikä on tornin korkeus, ja mitkä ovat katseluetäisyydet?

Syksy 2000

Tornin korkeus on 76,3 m ja etäisyydet 1250 m ja 1750 m.

6. Tasakylkisen kolmion piiri on 15 cm. Sen kyljet ovat 1,5 cm pitemmät kuin kanta. Laske kolmion ala.

Kevät 2000

Noin 10,2 cm²

7. Tasamaalla kasvavan pystysuoran puun varjon pituus on 37 metriä, kun aurinko näkyy 28 asteen kulmassa horisontin yläpuolella. Mikä on puun pituus?

Syksy 1999

Noin 20 m

Osion perustehtävät