Suora ja taso
Suora avaruudessa voidaan ilmoittaa vektoreiden avulla. Kun tunnetaan suoralta jokin piste ja jokin suoran suuntavektori, on suora vektoreilla ilmoitettuna
missä s on suoran nimi, OA suoralla olevan pisteen paikkavektori, a suoran suuntavektori ja n jokin luku. Eli liikutaan origosta suoran pisteeseen A, jonka jälkeen suoran suuntavektorin avulla pääsemme suoran jokaiseen pisteeseen.
Yllä oleva suoran yhtälö on suoran parametrimuotoinen yhtälö. Suora muodostuu parametrin n käydessä läpi kaikki reaaliluvut.
Avaruuden suoran määrittää yksikäsitteisesti joko kaksi avaruuden pistettä tai yksi piste sekä jokin suoran suuntavektori
Pisteiden A ja B kautta kulkeva suora.
Pisteen A kautta kulkeva suora, jolla on suuntavektori a
Esimerkki 1
Suora kulkee avaruudessa pisteiden A(1,3,2) ja B(2,4,1) kautta. Määritetään suoran parametrimuotoinen yhtälö. Suoran suuntavektori on vektori AB.
Suoran yhtälö
Esimerkki 2
Onko piste (4,6,-1) edellisen esimerkin suoralla?
Muodostetaan suoran s komponenttimuotoinen parametriesitys
Saadaan yhtälöryhmä
Piste on suoralla vain ja jos vain löytyy luku n siten, että yhtälöryhmä toteutuu. Sijoitetaan piste (4,6,-1) yhtälöryhmään.
Yhtälöryhmä toteutuu, kun n=3. Piste on siis suoralla.
Suorien leikkauspiste
Esimerkki 3
Tutki leikkaako suora, joka kulkee pisteiden (0,0,0) ja (0,5,5) kautta suoran, joka kulkee pisteiden (-1,2,2) ja (3,-2,-2)
Piirretään aluksi suorat GeoGebralla.
Vieressä pisteiden A(0,0,0) ja B(0,5,5) kautta kulkeva suora vihreänä ja Pisteiden C(-1,2,2) ja D(3,-2,-2) kautta kulkeva suora punaisena.
GeoGebran perusteella suorat leikkaavat pisteessä (0,1,1)
Voit käännellä kuvaa hiirellä eri asentoihin vieressä.
Ratkaistaan tehtävä mös analyyttisesti.
Kaksi suoraa leikkaavat toisensa, jos niillä on yhteinen piste. Merkitään suoria kirjaimilla s ja t
Suorilla on leikkauspiste, jos löytyy kertoimet n ja m siten, että s=t.
Piste A on origossa, joten paikkavektoria OA ei tarvita laskuissa. (Tämä on nollavektori). Merkitään leikkauspistettä E.
Vektorit
Merkitään suorat yhtä suuriksi
Vektorien komponentit ovat yksikäsitteisiä, joten saadaan yhtälöryhmä
Löydettiin kertoimet m ja n, joten suorilla on leikkauspiste. Tällöin pisteen E paikkavektori on
joten leikkauspiste on E(0,1,1).
Taso
Tason määrää kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla. Tason suuntavektorit saadaan pisteiden välisistä vektoreista.
Alapuolella on taso, joka kulkee pisteiden A(−2,2,2), B(1,1,0) ja C(2,1,2) kautta. Tason suuntavektorit AC (punainen) ja AB (vihreä).
Voi käännellä kuvaa hiirellä.
Esimerkki 4
Millä ehdolla piste P(x,y,z) on tasossa?
Pisteiden paikkavektorit ja tason suuntavektorit
Tason vektorimuotoinen esitys
Merkitään tasoa kirjaimella p. Tason määräävät piste A sekä suuntavektorit AB ja AC.
Jotta piste on tasossa, seuraavan yhtälön täytyy toteutua
Saadaan yhtälöryhmä
missä n ja t ovat jotain lukuja. Piste on tasossa vain ja jos vain löytyy luvut n ja t siten, että yhtälöryhmä toteutuu.
Tason normaalimuoto
Esimerkki 5
Esitetään edellisen esimerkin taso muodossa ax+by+cz+d=0.
Tämä on tason normaalimuoto. Palataan nimeen seuraavan kappaleen esimerkeissä.
Ratkaistaan alimmasta yhtälöstä n ja sijoitetaan se toiseen yhtälöön, josta ratkaistaan t.
Sijoitetaan ratkaistut n ja t ensimmäiseen yhtälöön
Viedään kaikki termit yhtälön vasemmalle puolelle ja kerrotaan nimittäjät pois.
Tämä on tason normaalimuotoinen yhtälö. Kaikki tason pisteet toteuttavat tämän yhtälön.
Vanhoja YO-tehtäviä
Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen.
1. Suora on vektorin a suuntainen ja kulkee pisteen (2,3,7) kautta. Määritä sen ja tason x+2y+z=1 leikkauspiste.
Kevät 2003 (Muokattu tehtävänantoa.)
(-13/4,5/4,7/4)
2. Osoita, ettei taso, jonka määräävät origosta lähtevien vektoreiden a, b, ja c kärjet, millään x:n arvolla ole vektorin v suuntainen.
Kevät 1983 (Muokattu tehtävänantoa.)
Katso ratkaisut
