Suora ja taso
Suora avaruudessa voidaan ilmoittaa vektoreiden avulla. Kun tunnetaan suoralta jokin piste ja jokin suoran suuntavektori, on suora vektoreilla ilmoitettuna
missä s on suoran nimi, OA suoralla olevan pisteen paikkavektori, a suoran suuntavektori ja n jokin luku.
Esimerkki 1
Suora kulkee avaruudessa pisteiden A(1,3,2) ja B(2,4,1) kautta. Määritetään suoran vektorimuotoinen yhtälö. Suoran suuntavektori on vektori AB.
Suoran yhtälö
Esimerkki 2
Onko piste (4,6,-1) edellisen esimerkin suoralla?
Muodostetaan suoran s komponenttimuotoinen parametriesitys
Saadaan yhtälöryhmä
Piste on suoralla vain ja jos vain löytyy luku n siten, että yhtälöryhmä toteutuu. Sijoitetaan piste (4,6,-1) yhtälöryhmään.
Yhtälöryhmä toteutuu, kun n=3. Piste on siis suoralla.
Tason määrää kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla. Tason suuntavektorit saadaan pisteiden välisistä vektoreista.
Esimerkki 3
Taso kulkee pisteiden A(−2,2,2), B(1,1,0) ja C(2,1,2) kautta. Millä ehdolla piste P(x,y,z) on tasossa?
Määritetään tason vektorimuotoinen esitys.
Pisteiden paikkavektorit ja tason suuntavektorit
Tason vektorimuotoinen esitys
Saadaan yhtälöryhmä
missä n ja t ovat jotain lukuja. Piste on tasossa vain ja jos vain löytyy luvut n ja t siten, että yhtälöryhmä toteutuu.