Geometrinen ja tilastollinen todennäköisyys

Geometrinen todennäköisyys

Klassinen todennäköisyys edellytti, että alkeistapauksien lukumäärä on ääreellinen. Useassa satunnaisilmiössä, eli todennäköisyystapahtumassa, näin ei kuitenkaan ole. Esimerkiksi yhden tunnin sisällä on äärettömän monta erilaista ajan hetkeä. Tällöin laskuissa käytetään apuna mittaa ja puhutaan geometrisesta todennäköisyydestä. Geometrinen mitta voi olla esimerkiksi aikavälin pituus, matkan pituus, pinta-ala, tilavuus, kulman suuruus jne. Tapahtuman A todennäköisyys lasketaan tällöin

Esimerkki 1. Bussi lähtee aina viidentoista minuutin välein ja se ottaa pysäkiltä matkustajia sisälle bussiin aina kolmen minuutin ajan ennen lähtöä. Millä todennäköisyydellä matkustajan pitää odottaa sisälle bussiin pääsemistä yli neljä minuuttia, kun hän tulee pysäkille tuntematta aikataulua?

Piirretään tilanteesta havainnekuva:

Vastaus: Satunnaisesti pysäkille saapuva matkustaja joutuu todennäköisyydella 0,53 odottamaan yli neljä minuuttia bussiin sisälle pääsemistä.

Esimerkki 2. Perinteisessä mökkitikkataulussa on keskusympyränä tulos kymmenen, jota ympäröi renkaina muut arvot aina ykköseen asti. Tuloksen kymmenen, eli keskusympyrän halkaisija on 36mm ja jokaisen renkaan leveys on 18mm. Millä todennäköisyydellä silmät suljettuna heitetyn tikan tulos on tauluun osuessaan

a) ainakin 7.

b) tasan 7.


a) Koko tikkataulun säde on 180mm ja tulosta “ainakin 7” vastaavan ympyrän säde on 72mm, joten

Vastaus: Todennäköisyys, että saadaan tulokseksi ainakin seitsemän, on 0,16.

b)

Vastaus: Todennäköisyys, että saadaan tulokseksi tasan seitsemän, on 0,07.

Kokeile

Alla on maalitaulu ja sen taustalevy. Taustalevy on neliön muotoinen. Heitetään tikkoja maalitauluun ja oletetaan, että jokainen tikka osuu taustalevyn sisälle. Kuinka moni tikoista osuu maalitauluun? Mikä on todennäköisyys osua maalitauluun?

Voit muuttaa maalitaulun koko liu'ulla sekä heittojen lukumäärää myös liu'ulla. Näet kuinka moni tikoista osuu tauluun ja mikä on osumien suhde heittojen määrään. Näet myös mikä on geometrinen todennäköisyys osua tauluun.

Esimerkki 3.

Tuulisella ilmalla Sven-Ulf Heiskasen talon pihalla oleva vanha kuusi heilui uhkaavasti joka suuntaan. Millä todennäköisyydellä puu osuu kaatuessaan taloon, kun puun kohtisuora etäisyys talosta on 8 metriä, talon seinän leveys on 20 metriä ja puun pituus on 12 metriä.

Tehdään tilanteesta havainnekuva ja varmistetaan laskemalla, että kuva on varmasti oikein piirretty.

Tutkitaan ensin mikä on se talon seinän mitta, johon puu yltä osua. Jos mitta on alle 20 metriä, joka on talon leveys, niin kuva on oikein piirretty. Merkitään talon seinän leveyttä a:lla, jolloin pythagoraan lauseen mukaan

Kuva on siis oikein piirretty. Ratkaistaan suotuisan keskuskulma 2α suuruus trigonometrian avulla.

Nyt voimme selvittää todennäköisyyden sille, että puu kaatuu taloa päin. Todennäköisyys saadaan tehtävänannon kannalta suotuisan keskuskulman ja täyden ympyrän keskuskulman osamäärällä.

Vastaus: Puu osuu taloon noin todennäköisyydellä 0,27

Tilastollinen todennäköisyys

Tilastollisessa todennäköisyydessä laskut tehdään tilastomateriaalin pohjalta. Tilastomateriaali voi antaa satunnaisilmiön osuuksien määrät joko lukumäärinä tai suhteellisina prosenttiosuuksina. Eri tilastollisia osuuksia koko satunnaisilmiöstä kutsutaan nimellä frekvenssi, kun määrät on ilmoitettu lukumäärinä, ja nimellä suhteellinen frekvenssi, kun määrät on ilmoitettu suhteellisina prosenttiosuuksina.

Esimerkki 4. Oheisessa taulukossa on Ala-Ylä-Härmälän kunnan asukkaiden iät tilastoituna.

a) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu asukas on 60 vuotias tai vanhempi?

b) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu asukas on 20-40 vuotias nainen?

c) Kuinka monta prosenttia todennäköisempää on, että Ala-Ylä-Härmäläläinen satunnaisesti valittu jo 60 vuotta täyttänyt nainen on yli 80-vuotias, kuin että satunnaisesti valittu jo 60 vuotta täyttänyt mies on yli 80-vuotias?

a)

Vastaus: Satunnaisesti valittu asukas on yli 60-vuotias todennäköisyydellä 0,46

b)

Vastaus: Todennäköisyys, että satunnaisesti valittu asukas on 20-40v. nainen on 0,05

c)

Ratkaistaan seuraavaksi kuinka monta prosenttia todennäköisempää on, että valittu on nainen

Vastaus: On 91% todennäköisempää, että valittu on nainen

Vanhoja YO-tehtäviä

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen

1. Pöytä on peitetty ruudullisella liinalla, jonka neliömäisen ruudun sivu on 50 mm. Mikä on todennäköisyys, että pöydälle heitetty viiden markan kolikko (halkaisija 26 mm) peittää neliön kärjen?

Kevät 1988

0,21

2. Puu, joka on muodoltaan likimäärin kärjellään seisova suora ympyräkartio (korkeus 19 m ja pohjan säde 3,2 m), kaatuu mielivaltaiseen suuntaan. Mikä on todennäköisyys, että se osuu puun tyvestä 15 m päässä seisovaan henkilöön? Henkilön mittoja ei tarvitse ottaa huomioon.

Kevät 1996

0,053

3. Kivi heitetään umpimähkään ympyrään. Millä todennäköisyydellä se osuu lähemmäksi ympyrän keskipistettä kuin sen kehää?

Kevät 1998

1/4

Osion perustehtävät