Avaruusvektorit

Kun käsittelemme vektoreita avaruudessa, tulee meille yksi ulottovuus lisää. Koordinaatistossa lisätään z-akseli, joka on kohtisuorassa xy-tasoa vastaan. Vektoreiden toiminta ja periaate pysyy aivan samana avaruudessa, kuin se oli tasossakin.

Alla olevassa koordinaatistossa x-akseli on punainen, y-akseli vihreä ja z-akseli sininen. z-akselin suuntaista kantavektoria merkitään kirjaimella k.

Kuvassa näkyvä vektori, joka on pisteen (-10,3,2) paikkavektori, on

Pisteen paikkavektori on origosta pisteeseen piirretty vektori aivan kuten tason vektorien tapauksessa.

Vektori avaruudessa voidaan ajatella olevan suorakulmaisen särmiön avaruuslävistäjä. Edellä olevaan voitaisiin ajatella särmiö, jonka särmien pituudet ovat 10, 3 ja 2. Avaruuslävistäjän pituus saadaan laskettua käyttäen apuna pythagoraan lausetta.

Tällöin avaruuslävistäjän pituus on

joten vektorin a pituus on

Yleisesti avaruusvektorin pituus saadaan

kun vektori a on

xyz-koordinaatiston kantavektorit

Kolmiulotteisen koordinaatiston kantavektorit ovat

Vektorit i ja j ovat x- ja y-akselin suuntaisia, kuten tasonkin tapauksessa. Vektori k on z-akselin suuntainen.

Kantavektorien pituus on 1.

Jokainen avaruuden vektori voidaan ilmaista kantavektorien i, j ja k avulla.

Esimerkki 1

Olkoon piste A(1,3,2) ja piste B(3,2,6). Määritä vektori AB.

Ratkaisu

Hahmotellaan tilanne. Hahmottelun ei tarvitse olla koordinaatistoon piirrettynä.

Merkitään origoa kirjaimella O ja piirretään pisteisiin A ja B paikkavektorit sekä vektori pisteestä A pisteeseen B.

Haetaan pisteiden A ja B paikkavektorit

Tällöin vektori AB saadaan, kun mennään pisteen A paikkavektoria vastaan ja pisteen B paikkavektoria myöden

Esimerkki 2

Pisteen B paikkavektori on OB ja vektori pisteestä A pisteeseen B on AB. Määritä piste A.

Ratkaisu

Haetaan pisteen A paikkavektori.

Vektorit OB ja AB tunnetaan, joten

Nyt voidaan ratkaista vektori OA

Paikkavektorista voidaan lukea pisteen A koordinaatit suoraan, joten piste A on (5,-6,4)

Esimerkki 3

Jaa vektori a, vektorien b ja c suuntaisiin komponentteihin.

Ratkaisu

Vektori a voidaan jakaa vektoreiden b ja c suuntaisiin komponentteihin, jos löydetään kertoimet r ja s siten, että

Tällöin saadaan

Sijoitetaan vektorit a,b ja c.
Avataan sulkeet.
Lasketaan yhteen samojen komponenttien kertoimet.

Vektorien komponentit ovat yksikäsitteisiä, joten saadaan yhtälöryhmä

Ensimmäisestä yhtälöstä nähdään, että r =2. Tämä toteutuu myös toisen yhtälön kohdalla. Tällön viimeisestä yhtälöstä voidaan ratkaista s = 4.

Silloin tehtävän vastaus on

Esimerkki 4

Millä x:n positiivisella arvolla vektoreiden i, j ja xk kärkien määräämän kolmion ala on 2?

Matematiikan YO - Pitkä oppimäärä - syksy 1984 5b

Ratkaisu

Hahmotellaan vektorit sekä kärkien muodostama kolmio.

Merkitään kolmion kantaa vektorilla a ja kolmion korkeutta vektorilla b.

Tällöin kanta sekä korkeus on kyseisten vektorien pituudet.

Vektori a on vektorin i kärjestä vektorin j kärkeen, eli

Kolmion korkeus (eli vektori b) saadaan. kun liikutaan puolikkaan vektorin a verran vektorin j kärkeen ja sitten vektoria j vastaan ja lopuksi vielä vektorilla xk kolmion kärkeen.

Tällöin vektori b on

Vektorien pituudet

Kolmion pinta-ala on kanta kertaa korkeus jaettuna kahdella, joten saadaan

Ratkaistaan yhtälö

Yhtälölle tulee kaksi ratkaisua ja molemmat kelpaavat. Negatiivisella arvolla kolmiosta muodostuu samanlainen, mutta sen kärki on negatiivisella z-akselilla.

Tarkistetaan tulos vielä GeoGebralla