Sinilause
Mikäli kolmiosta tunnetaan mikä tahansa kulma ja sitä vastassa oleva sivu sekä jokin kolmas kolmion osa, voidaan muut osat laskea sinilauseen avulla. Sinilause sanoo, että kolmiossa sivun pituuden ja sitä vastassa olevan kulman sinin suhde on vakio.
Sinilause saadaan kolmion pinta-alan lausekkeesta. Jos tunnetaan kaksi sivua ja näiden välinen kulma saadaan laskettua kolmion pinta-ala. Yläpuolisen kolmion merkinnöillä pinta-ala olisi
Merkitään pinta-alat yhtäsuuriksi ja sievennetään yhtälöä
Näin saadaan, että kulman sinin suhde vastakkaisen sivun pituuteen on vakio. Myös käänteisluvut ovat yhtä suuret. Tätä kutsutaan sinilauseeksi.
Kokeile
Voit muuttaa kolmion kokoa ja muotoa vetämällä kolmion kärjistä. Näet jokaisen sivun suhteen vastakkaisen kulman siniin.
Esimerkki 1
Ratkaise sivun x pituus
Käytetään sinilausetta
Esimerkki 2
Lentokone lähti lentämään kohti koilista. 2,8 kilometrin jälkeen se kääntyi suoraan kohti itää ja jatkoi matkaa, kunnes kääntyi 161,6 astetta palatakseen takaisin lentokentälle. Kuinka kaukana lentokentästä lentokone toisen käännöksen aikana oli?
Hahmotellaan tilanne. Koilisen ja idän välillä on 45 astetta, joten muodostuvaan kolmioon tulee ensimmäisen käännöksen kulmaksi 135 astetta. Toisen käännöksen kolmion kulma on 18,4 astetta.
Lentokone oli noin 6,3 kilometrin etäisyydellä lentokentästä.
Vanhoja YO-tehtäviä
Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen.
1. Osa Helsingin Keskuskatua muutettiin kävelykaduksi ja päällystettiin Penrosen laatoilla, jotka keksi englantilainen matemaatikko Roger Penrose 1970-luvulla. Niiden avulla taso voidaan laatoittaa äärettömän monella eri tavalla niin, ettei laatoitus ole jaksollinen. Laattoja on kahta eri muotoa, leija ja nuoli. Molemmat ovat nelikulmioita, joiden kulmien suuruudet ja osa sivujen pituuksista on merkitty kuvioon.
a) Laske muiden sivujen pituuksien likiarvot kolmen desimaalin tarkkuudella.
b) Laske laattojen pinta-alojen likiarvot kolmen desimaalin tarkkuudella.
a) Muiden sivujen pituus on 1,618. b) Leijan pinta-ala on 1,539 ja nuolen 0,951.
2. Talosta 4 metrin korkeudelta katsottaessa linkkimaston huippu näkyy 25 asteen korkeuskulmassa ja 12 metriä korkeammalta katsottaessa 22,5 asteen korkeuskulmassa vaakatasoon nähden. Maston perusta on 21 metriä korkeammalla kuin talon perusta. Määritä maston korkeus 0,1 metrin tarkkuudella.
Kevät 2004
90,4 m
Osion perustehtävät