Toistokoe

Johdanto-esimerkki. Tarkastellaan viiden kysymyksen monivalintakoetta, jonka jokaisessa kysymyksessä on viisi vaihtoehtoa. Millä todennäköisyydellä saat arvaamalla kokeesta tasan kolme kysymystä oikein.

Jokaisessa tehtävässä P(“arvaat oikein”) = 0,20 ja puolestaan P(“arvaat väärin”) = 0,80. Muodostetaan tilanteesta taulukko johon luetellaan kaikki mahdolliset vaihtoehdot. Taulukossa V = väärin ja O = oikein.

Havaitaan, että jokaisen vastausrivin todennäköisyys on tulo .

Suotuisien vastausrivien määrä nähdään taulukosta, ja se on kymmenen. Tämä voidaan laskea myös ilman taulukointia, eli ratkaistaan kuinka monella tavalla voidaan valita 5-alkioisesta joukosta 3-alkioinen osajoukko.

Nyt todennäköisyys sille, että saadaan tasan kolme oikein, on

Vastaus: Todennäköisyys, että saadaan tasan kolme oikein on noin 0,051

Jos tapahtuman A todennäköisyys ei riipu edeltävien toistojen tuloksista, on kyseessä toistokoe.

Oletetaan, että tapahtuman A todennäköisyys on p. Toistetaan koetta n kertaa. Tällöin

Esimerkki 1. Erään yrityksen valmistamista tuotteista keskimäärin 3,5% on todettu olevan viallisia.

a) Millä todennäköisyydellä umpimähkään valituista 20 tuotteesta tasan kolme on viallisia?

b) Millä todennäköisyydellä umpimähkään valituista 20 tuotteesta ainakin kaksi on viallisia?

c) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valituista 20 tuotteesta ensimmäisenä valittu on ainut viallinen?

a) Binomitodennäköisyys

Vastaus: 20 tuotteesta tasan kolme on viallisia noin todennäköisyydellä 0,027

b) Todennäköisyys on järkevää laskea vastatapahtuman avulla.

P(“tuote on viallinen”) = 0,035

P(“tuote ei ole viallinen”) = 1 - 0,035 = 0,965

Vastaus: todennäköisyys, että 20 tuotteesta ainakin 2 on viallisia on noin 0,15.

c) Kyseessä ei ole toistokoe, koska viallinen tuote on kiinnitetty omalle paikalleen. Tehtävä lasketaan kertolaskusäännön avulla

Esimerkki 2. Shakkilaudassa 8x8 on ruudukko ja sitä ympäröi 5cm leveä harmaa reuna. Ruudukon joka toinen ruutu on valkoinen ja joka toinen musta. Laudan koko reunoineen on 50cm X 50cm. Laudalle pudotetaan satunnaisesti 30 riisinjyvää. Kuinka suurella todennäköisyydellä vähintään 15 riisinjyvän keskipiste osuu valkoiseen ruutuun? (YO-kevät 2019)

Shakkilaudan kokonaispinta-ala on 50 cm · 50 cm = 2500 cm²

Ruudukon pinta-ala on 40 cm · 40 cm = 1600 cm²

Valkoisten ruutujen pinta-ala on puolet ruudukon pinta-alasta eli 800 cm²

Todennäköisyys sille, että vähintään 15 riisinjyvää putoaa valkoiseen ruutuun voidaan laskea esimerkiksi Geogebran todennäköisyyslaskenta ohjelmalla, josta valitaan todennäköisyysjakaumaksi binomijakauma.

Geogebrassa:

n = toistojen lukumäärä

p = Suotuisan tapahtuman todennäköisyys. Tässä tapauksessa todennäköisyys sille, yksittäinen riisinjyvä osuu valkoiseen ruutuun

P(15 ≤ X ≤ 30) = Yhteenlaskettu todennäköisyys sille, että 15-30 riisinjyvää osuu valkoiselle ruudulle.

Kuva Geogebrasta:

Vastaus: Todennäköisyys sille, että ainakin 15 riisinjyvää osuu valkoiselle, on noin 0,031