Normaalijakauma

Normaalijakauma tai gaussin jakauma tai gaussin käyrä, on jatkuva todennäköisyysjakauma.

Normaalijakauma on symmetrinen odotusarvon molemmin puolin. Mikäli satunnaismuuttuja noudattaa normaalijakaumaa, merkitään

Missä 𝞵 on odotusarvo ja 𝞼 on keskihajonta.

Esimerkki 1

Hiustenkuivaaja toimii vioittumatta ajan, joka on normaalijakautunut odotusarvona 15,2 kuukautta ja keskihajontana 2,5 kuukautta. Kuivaajalla on yhden vuoden takuu.

a) Kuinka monta prosenttia kuivaajista joutuu takuukorjaukseen?

b) Kuinka monta prosenttia kuivaajista toimii vioittumatta yli 18 kuukautta?

(YOS2015 Lyhyt matematiikka)

Ratkaisu

Aika, jonka kuivaaja toimii = t. Muuttuja noudattaa normaalijakaumaa N(15,2;2,5) . Yksikkönä on kuukausi.

Tehdään normitus. Eli verrataan arvoja normaalijakaumaan, jonka odotusarvo on 0 ja keskihajonta 1.

a) Takuuaika on 12 kuukautta. Katsotaan kuinka monen keskihajonnan päässä tämä on keskiarvosta. (Eli normitetaan)

Normitetussa normaalijakaumassa haluamme saada selville -1,28 saakka kerääntyneen todennäköisyyden.

Koska jakauma on symmetrinen odotusarvon molemmin puolin, voidaan hakea taulukosta vastaava positiivinen arvo ja vähentää se luvusta 1.

Takuukorjaukseen joutuu siis noin 10% kuivaajista.

b) Normitetaan arvo 18, eli katsotaan kuinka monen keskihajonnan päässä se on.

Nyt on haettavana alue, joka on kohdan 1,12 jälkeen. Haetaan taulukosta arvo kohtaan 1,12 asti ja vähennetään se luvusta 1.

Kuivaajista 13% kestää yli 18 kuukautta.

Binomijakauman approksimointi normaalijakaumalla

Mikäli toistokokeessa toistojen määrä on suuri, voidaan sitä approksimoida normaalijakaumalla.

Esimerkki 2

Noppaa heitetään 1200 kertaa. Millä todennäköisyydellä saadaan 180 - 220 kutosta?

Määritetään odotusarvo sekä keskihajonta ja tehdään aproksimaatio.

Määritetään normaalijakauman avulla todennäköisyys, joka jää 180 ja 220 väliin.

Binomijakaumassa arvot ovat kokonaislukuja ja normaalijakaumassa reaalilukuja, tehdää vielä niin sanottu jatkuvuuskorjaus.

Lasketaan normaalijakauma geogebralla. Kohtaan 220,5 on kerääntynyt todennäköisyyttä noin 94,4% ja kohtaan 179,5 noin 5,6%

Tästä saadaan, että todennäköisyys tulla 180 - 220 kutosta tuhannella heitolla on noin 88,8%

Ensimmäisessä kohdassa on laskettu geogebralla suoraan binomitodennäköisyys. Tämä arvo on myös 88,8%.

Geogebralla (sekä muilla laskinohjelmilla/laskimilla) voikin laskea binomitodennäköisyydet, joissa on suuri määrä toistoja, helposti.

Tehtävät

1. Erään pääsykokeen keskiarvo oli 60 ja keskihajonta 12. Tulokset noudattivat normaalijaukaumaa.

a) Mikä oli valintaan tarvittava pistemäärä, jos kokelaista 50% valittiin.

b) Mikä oli valintaan tarvittava pistemäärä, jos kokelaista 30% valittiin.

c) Kuinka moni sai kokeissa yli 65 pistettä

2. Simo-Elmeri myöhastyi koulusta joka päivä. Hänen myöhästymisaikansa noudatti normaalijakaumaa. Keskiarvo oli viisi minuuttia ja keskihajonta 2 minuuttia.

a) Millä todennäköisyydellä Simo-Elmeri myöhästyi yli seitsemän minuuttia?

b) Millä todennäköisyydellä Simo-Elmeri myöhästyi alle neljä minuuttia?

c) Millä todennäköisyydellä Simo-Elmeri myöhästyi yli neljä, mutta alle seitsemän minuuttia

3. Noppaa heitetään 810 kertaa. Millä todennäköisyydellä saadaan 410 - 420 parillista silmälukua?

4. Tiedetään, että juhliin kutsutuista 385 vieraasta 85% saapuu paikalle. Juhlissa on 333 istumapaikkaa. Millä todennäköisyydellä istumapaikat riittävät?