Toispuoliset raja-arvot
Tutkittaessa mitä lukua funktion arvo lähestyy, kun muuttuja lähestyy jotakin lukua, voimme lähestyä tätä kohtaa luvun molemmilta puolilta.
Kuvassa on erään funktion kuvaaja. Funktion kuvaaja koostuu kahdesta osasta: vasemmalla olevasta puolisuorasta ja oikeanpuoleisesta käyrästä.
Mikäli lähestymme x:n arvoa 4 puolisuoraa pitkin päädymme funktion arvoon 5. Lähestyessä käyrää pitkin oikealta kohtaa 4 päädymme funktion arvoon 4.
Funktion vasemmanpuolinen raja-arvo on siis 5 ja oikeanpuolinen raja-arvo on 4.
Tällä funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa neljä, sillä toispuoliset raja-arvot ovat erisuuret.
Tämä on paloittain määritelty funktio.
Funktiolla f on raja-arvo kohdassa a, mikäli
Merkinnässä miinusmerkillä tarkoitetaan vasemmanpuoleista raja-arvoa, eli kohtaa a lähestytään negatiiviselta puolelta, ja plusmerkillä oikeanpuoleista raja-arvoa, eli lähestytään kohtaa a positiiviselta puolelta.
Esimerkki 1
Määritä funktion f toispuoliset raja-arvot
Ratkaisu
Määritetään raja-arvot. Vasemmalta lähestyttäessä funktio on määritelty suoran mukaan ja oikealta paraabelin.
Vasemmanpuoleinen raja-arvo
Oikeanpuoleinen raja-arvo
Toispuoliset raja-arvot ovat erisuuret, joten funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa 4. Kyseessä on sama funktio, jonka kuvaaja on osion alussa.
Esimerkki 2
Määritä funktion g raja-arvo kohdassa 3
Ratkaisu
Funktiolla on raja-arvo, jos sen toispuoliset raja-arvot ovat yhtä suuret.
Vasemmanpuoleinen raja-arvo
Oikeanpuoleinen raja-arvo
Toispuoliset raja-arvot ovat yhtäsuuret, jolloin funktiolla g on raja-arvo kohdassa 3
Funktion kuvaaja
