Toispuoliset raja-arvot

Tutkittaessa mitä lukua funktion arvo lähestyy, kun muuttuja lähestyy jotakin lukua, voimme lähestyä tätä kohtaa luvun molemmilta puolilta.

Kuvassa on erään funktion kuvaaja. Funktion kuvaaja koostuu kahdesta osasta: vasemmalla olevasta puolisuorasta ja oikeanpuoleisesta käyrästä.

Mikäli lähestymme x:n arvoa 4 puolisuoraa pitkin päädymme funktion arvoon 5. Lähestyessä käyrää pitkin oikealta kohtaa 4 päädymme funktion arvoon 4.

Funktion vasemmanpuolinen raja-arvo on siis 5 ja oikeanpuolinen raja-arvo on 4.

Tällä funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa neljä, sillä toispuoliset raja-arvot ovat erisuuret.

Tämä on paloittain määritelty funktio.

Funktiolla f on raja-arvo kohdassa a, mikäli

Merkinnässä miinusmerkillä tarkoitetaan vasemmanpuoleista raja-arvoa, eli kohtaa a lähestytään negatiiviselta puolelta, ja plusmerkillä oikeanpuoleista raja-arvoa, eli lähestytään kohtaa a positiiviselta puolelta.

Esimerkki 1

Määritä funktion f toispuoliset raja-arvot

Ratkaisu

Määritetään raja-arvot. Vasemmalta lähestyttäessä funktio on määritelty suoran mukaan ja oikealta paraabelin.

Vasemmanpuoleinen raja-arvo

Oikeanpuoleinen raja-arvo

Toispuoliset raja-arvot ovat erisuuret, joten funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa 4. Kyseessä on sama funktio, jonka kuvaaja on osion alussa.

Esimerkki 2

Määritä funktion g raja-arvo kohdassa 3

Ratkaisu

Funktiolla on raja-arvo, jos sen toispuoliset raja-arvot ovat yhtä suuret.

Vasemmanpuoleinen raja-arvo

Oikeanpuoleinen raja-arvo

Toispuoliset raja-arvot ovat yhtäsuuret, jolloin funktiolla g on raja-arvo kohdassa 3

Funktion kuvaaja