Pinta-ala

Edellisessä luvussa näytimme, että positiivisia arvoja saavan jatkuvan funktion f(x) määrätty integraali välillä [a,b] antaa funktion kuvaajan ja x-akselin rajaaman pinta-alan. Yleisille funktioille, meillä on kuitenkin pieni ongelma. Tämän näkee vaikkapa laskemalla geogebralla määrätty integraali funktiolle, joka saa myös negatiivisia arvoja:

Kuvassa on sinisellä maalattu alueet, joissa funktio on positiivinen. Näissä alueissa integraali palauttaa positiiviset arvot (b=4,73 ja d=1,68), joten pinta-alan kannalta tilanne on ok. Kun funktio saa negatiivisia arvoja, tulee integraalista tietenkin negatiivinen (c=-1,28), koska integraalissa summataan palasia, jotka ovat muotoa välin leveys kertaa funktion arvo. Jos funktion arvo on negatiivinen, tulee integraalistakin negatiivinen.


Asia on helppo korjata ottamalla funktion arvon sijaan sen itseisarvo, eli yleiselle jatkuvalle funktiolle f(x) saadaan sen ja x-akselin rajaama pinta-ala


Laskuissa tämä otetaan huomioon seuraavasti:

  1. Selvitetään funktion nollakohdat ja vaihtaako funktio niissä merkkinsä. Toisin sanoen selvitetään alueet, joissa funktio on positiivinen ja alueet, joissa funktio on negatiivinen (muista Bolzanon lause!)
  2. Jaetaan määrätty integraali paloihin, jotka vastaavat näitä alueita. Koko integraali on näiden palojen summa.
  3. Positiivisissa paloissa f(x):n itseisarvo palauttaa f(x), joten itseisarvomerkit vain jätetään pois.
  4. Negatiivisissa paloissa f(x):n itseisarvo palauttaa -f(x), joten itseisarvomerkit voi pudottaa, kunhan eteen laittaa miinus-merkin.


Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa funktion nollakohdat ovat x=3/2 ja x=4, joten pinta-ala saataisiin laskemalla integraali

Keskimmäisen integraalin eteen tulee nyt miinusmerkki, joten “negatiivisen pinta-alan ongelma” on ratkaistu.


Esimerkki 1: Laske funktion f(x) = x²+1 ja x-akselin rajaaman alueen pinta-ala välillä [1,2].

f(x) on saa vain positiivisia arvoja, joten pinta-alan kaavassa olevista itseisarvomerkeistä ei tarvitse välittää ja tulos saadaan suoraan määrättynä integraalina

[Kun Geogebralla piirtää tilanteesta kuvan, kannattaa samalla laskea integraali “Integraali(<funktio>,<alkuarvo>,<loppuarvo>)” -komennolla. Tässä tapauksessa Integraali(x^2+1, 1, 2) = 3.33, josta on helppo tarkistaa käsin laskettu tulos.]

Esimerkki 2: Laske jatkuvan funktion g(x)=x^2-1 ja x-akselin rajaama pinta-ala välillä [0,2].

Nyt g(x) saa myös negatiivisia arvoja, joten täytyy selvittää onko sillä nollakohtia välillä [0,2].

Funktiolla on nollakohta kohdassa x=1. Ylöspäin aukeavana paraabelina voidaan päätellä, että se on negatiivinen välillä [0,1] ja positiivinen välillä [1,2]. Sama saadaan Geogebralla piirretystä kuvaajasta

Koska funktio vaihtaa merkkiään integrointivälillä, täytyy integraali jakaa kahteen osaan. Ensimmäisen palan eteen laitetaan miinusmerkki, koska siellä funktio on negatiivinen.

Joskus integrointi pitää tehdä y:n (eikä x:n) suhteen. Tällöin funktio pitää ensin ratkaista ensin muodossa x(y). Eli esimerkiksi

Sen jälkeen funktio x(y) voidaan integroida ihan samalla tavoin kuin muissakin laskuissa.


Esimerkki: Määritä funktion f(x) = 2x+1 ja y-akselin väliin jäävä pinta-ala, kun y on välillä y[-1,3].


Hahmotellaan kuvaaja Geogebralla

Meidän pitää siis ensin kääntää y(x)=2x+1 muotoon x(y)=12(y-1). Tällä funktiolla on nollakohta, kun y = 1. Kun y<1, x on negatiivinen. Kun y>1, x on positiivinen. Pinta-alaa laskettaessa integraali pitää siis jälleen jakaa kahteen osaan

Tietokoneella laskettaessa kannattaa vaihtaa y:n nimi x:ksi, sillä monissa laskimissa integrointimuuttujaksi oletetaan x. Tässä tapauksessa esim. Geogebraan voi syöttää seuraavanlaisen lausekkeen: