Ympyrän yhtälö

Esimerkki 1

Määritetään kaikki pisteet, joiden etäisyys origosta on 3.

Koordinaattiakselien pisteet


Muita pisteitä


Kaikki pisteet


Pisteet, jotka ovat etäisyydellä 3 origosta, muodostavat ympyrän, jonka säde on 3. Merkitään ympyrällä olevaa pistettä (x,y) ja määritetään tämän pisteen etäisyys origosta käyttämällä kahden pisteen välisen etäisyyden kaavaa. Näin saamme pistejoukon yhtälön, joka esittää ympyrää.

Tämä on siis origokeskeinen ympyrä, jonka säde on 3.

Ympyrän keskipistemuotoinen yhtälö

Merkitään ympyrän keskipistettä (x₀,y₀) . Pisteen (x,y) etäisyys keskipisteestä on

Merkitään tätä etäisyyttä, eli ympyrän sädettä, kirjaimella r

Tämä on ympyrän keskipistemuotoinen yhtälö.

Keskipistemuotoisesta ympyrän yhtälöstä nähdään keskipiste ja säde suoraan.

Esimerkki 2

Keskipiste (4,2) säde 5


Keskipiste (-5,1) säde 2


Keskipiste (-7,0) säde 10


Kokeile

Voit muuttaa ympyrän sädettä liu'ulla ja siirtää keskipistettä raahaamalla.

Ympyrän normaalimuotoinen yhtälö

Yleensä ympyrä tulee vastaan normaalimuotoisena. Tällöin siinä ei ole sulkeita ja kaikki termit on yhtälön vasemmalla puolella. Muutetaan seuraava ympyrän yhtälö keskipistemuodosta normaalimuotoon.

Esimerkki 3

Normaalimuotoisesta ympyrän yhtälöstä ei näe suoraan keskipistettä eikä sädettä. Tällöin on mentävä toiseen suuntaan ja muodostettava keskipistemuotoinen yhtälö. Tässä auttaa muistikaava binomin neliö.

Esimerkki 4

Alla on erään ympyrän normaalimuotoinen yhtälö

Muutetaan yhtälö keskipistemuotoon. Merkitään x:t ja y:t peräkkän ja viedään vakiot yhtälön oikealle puolelle. Lisätään yhtälöön luvut siten, että saadaan muodostettua binomin neliöt.

Ympyrän keskipiste on (-2,4) ja säde on 3

Vanhoja YO-tehtäviä

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen

1. Ympyrän x²+y² = 16 jänteen keskipiste on (2,1). Määritä jänteen pituus.

Syksy 2015

2√11

2. Osa tien kaarteesta on ympyrän kaari, joka kartalla kulkee xy-koordinaatiston pisteiden (28, 98), (70, 112) ja (126, 84) kautta. Kuinka suuri on tämän ympyrän säde, kun yksikkö kartalla vastaa 25:tä metriä luonnossa?

Syksy 2001

Kartalla 70, luonnossa 1750 m

3. Millä a:n arvoilla yhtälö x² + y² + 2ax + 4ay + 2y + 6a + 1 = 0 on ympyrän yhtälö? Määritä näiden ympyröiden keskipisteiden muodostama joukko.

Syksy 1998

a<0 tai a>2/5, kp=(-a,-(2a+1))

Osion perustehtävät