Ympyrän leikkauspisteitä

Suoran ja ympyrän leikkauspisteet

Suoralla ja ympyrällä voi olla kaksi, yksi tai ei yhtään leikkauspistettä.

Kaksi leikkauspistettä

Suora kulkee ympyrän läpi.

Yksi leikkauspiste

Suora sivuaa ympyrää. Tätä kutsutaan ympyrän tangentiksi.

Ei leikkauspisteitä

Suora ohittaa ympyrän täysin.

Esimerkki 1

Määritä alla olevan suoran ja ympyrän leikkauspisteet.

Muokataan suora ratkaistuun muotoon.

Sijoitetaan tämä ympyrän yhtälöön muuttujan y paikalle.

Avataan sulkeet.

Lasketaan samanmuotoiset termit yhteen.

Toisen asteen yhtälön ratkaisut esimerkiksi yhteisen tekijän avulla.

Leikkauspisteiden y-koordinaatit saadaan, kun sijoitetaan x-koordinaatit suoran yhtälöön. Kun x=-4, y=-4+4=0. Kun x=0, y=0+4=4. Suoran ja ympyrän leikkauspisteet ovat siis (-4,0) ja (0,4).

Kokeile

Kirjoita suoran yhtälö laatikkoon. Voit muuttaa ympyrän kokoa ja paikkaa pisteistä C ja D

Kahden ympyrän leikkauspisteet

Kaksi leikkauspistettä


Yksi leikkauspiste


Ei leikkauspisteitä


Esimerkki 2

Määritetään alla olevien ympyröiden leikkauspisteet

Muodostetaan yhtälöpari ja vähennetään yhtälöt toisistaan.

Saadan suoran yhtälö, joka kulkee ympyröiden leikkauspisteen kautta. Ratkaistaan yhtälöstä x.

Sijoitetaan x ensimmäiseen ympyrän yhtälöön.

Saadaan toisen asteen yhtälö.

Yhtälön ratkaisut ovat y=0 tai y=1

Leikkauspisteen x-koordinaatit saadaan sijoittamalle y suoran yhtälöön.

Kun y=0, x=3∙ 0+1=1

Kun y=1, x=3∙ 1+1=4

Ympyröiden leikkauspisteet (1,0) ja (4,1)

Kokeile

Voit muuttaa ympyröiden kokoa pisteistä A,B,C ja D. Saat näkyviin ympyröiden leikkauspisteet valintaruudusta.

Vanhoja YO-tehtäviä

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen

  1. Suora y = kx sivuaa ympyrää (x − 5)² + (y − 5)² = 1.

a) Määritä kulmakertoimen k kaikki mahdolliset arvot.

b) Määritä suurempaa kulmakerrointa vastaavan sivuamispisteen koordinaatit.

Syksy 2018

a) k=3/4 tai k=4/3

b) x=21/5, y=28/5

2. Määritä ympyrän x²+y²+4x−2y+1 = 0 niiden tangenttien yhtälöt, jotka kulkevat pisteen (1,3) kautta.

Syksy 2007

y = 3 ja 12x − 5y + 3 = 0.

3. Etsi yhtälö ympyrälle, jonka keskipiste on suoralla y =½x ja joka sivuaa x-akselia ja suoraa 4x + 3y − 24 = 0. Määritä kaikki tehtävän ratkaisut.

Kevät 2006

x² + y² − 16x − 8y + 64 = 0 ja x² + y² − 6x − 3y + 9 = 0

4. Olkoon x₀² + y₀² = 1. Osoita, että x₀x + y₀y = 1 on ympyrän x² +y² = 1 tangentti. Mitkä ovat sivuamispisteen koordinaatit?

Kevät 2003

Tangentilla ja ympyrällä on vain yksi leikkauspiste. D=0.

Leikkauspiste (x₀,y₀)

5. Laske origosta ympyrälIe x² + y² − 10x + 6y + 30 = 0 piirrettyjen tangenttien välinen kulma 0,10 :n tarkkuudella.

Kevät 1974 (Lyhyt)

40,4 astetta

6. Origokeskisen ympyrän säde on 9. Selvitä, voidaanko pisteestä (-4,8) piirtää ympyrälle tangentti.

Kevät 1989 (Lyhyt)

Ei voida. Piste on ympyrän sisällä.

Osion perustehtävät