kulmakerroin

Suoran yhtälö

Kaikki suorat voidaan ilmoittaa muodossa y=kx+b, missä k on suoran kulmakerroin ja b on vakio. Edellä olevaa suoran muotoa kutsutaan ratkaistuksi muodoksi.

Kulmakerroin

Kulmakerroin kertoo kuinka jyrkästi suora nousee tai laskee. Kun kulmakerroin on positiivinen, suora on nouseva ja kulmakertoimen ollessa negatiivinen suora on laskeva. Mitä suurempi kulmakerroin on, sitä jyrkemmin suora nousee, Vastaavasti mitä pienempi kulmakerroin, sitä jyrkemmin suora laskee.

Kulmakerroin

Kun tunnetaan suoran kaksi pistettä, saadaan kulmakerroin laskettua viereisellä kaavalla.

Esimerkki 1

Määritetään alla olevan suoran kulmakerroin.

Valitaan suoralta pisteet (1,1) ja (3,5). Pisteiden y-koordinaattien ero on 4 ja x-koordinaattien ero on 2. Kulmakerroin on siis

Esimerkki 2

Kuvassa suorat f,g,h ja i

Määritetään kulmakertoimet

Valitaan suorilta kaksi pistettä

Suoran f kulmakerroin k=2 Suoran i kulmakerroin k=-1

Suora h on vaakasuora, joten y-koordinaattien erotus on 0. Kulmakerroin k=0

Suora g on pystysuora, joten x-koordinaattien erotus on 0. Tässä tapauksessa jakajaksi tulisi 0, eli kulmakerroin ei ole määritelty. Suorilla, jotka ovat y-akselin suuntaisia ei ole kulmakerrointa.

Kulmakertoimelle myös pätee

jossa α on suoran ja x-akselin välinen kulma

Kokeile

Voit muuttaa suoran suuntaa vetämämällä pisteestä A. Saat muutettua kulmakertoimen apukolmiota vetämällä pisteistä B ja C.

Suoran vakiotermi b

Suoran yhtälö toteuttaa säännön x- ja y-koordinaattien välillä. Esimerkiksi suora y=2x+2 kertoo meille, että pisteen y-koordinaatti saadaan, kun x-koordinaatti kerrotaan kahdella ja tuloon lisätään kaksi. Jos halutaan laskea mikä on suoran piste, jossa x-koordinaatti on 1, sijoitetaan x=1 suoran yhtälöön. Tässä tapauksessa saataisiin y=4, joten suoran piste on (1,4).

Edellä olevassa suoran yhtälössä vakiotermi on 2. Jos halutaan tietää mikä on suoran piste, missä x=0, tehdään sijoitus. Meille jää y=2, eli vakiotermi. Kun x=0, ollaan y-akselilla. Toisin sanoen vakiotermi kertoo meille missä pisteessä suora leikkaa y-akselin.

Esimerkki 3

Määritetään esimerkki 2 suoran yhtälöt.

Suora f leikkaa y-akselin pisteessä (0,5), joten b=5 ja suoran yhtälö on y=2x+5

Suora i leikkaa y-akselin pisteessä (0,3), joten b=3 ja suoran yhtälö y=-x+3

Suoralla h on vain vakiotermi joten suoran yhtälö on y=5

Suoralla g ei ole kulmakerrointa, eikä se leikkaa y-akselia. Suoran yhtälö on x=2

Esimerkki 4

Muodostetaan yhtälö suoralle, joka kulkee pisteiden (2,5) ja (4,9) kautta.

Suora on muotoa y=kx+b

Määritetään kulmakerroin

Kulmakerroin on 2, joten suora saadaan muotoon y=2x+b. Suoran yhtälö toteuttaa säännön molempien pisteiden (2,5) ja (4,9) koordinaattien välillä. Sijoitetaan vaikka piste (2,5) suoran yhtälöön.


Vakiotermi on 1, joten suoran yhtälö on

Kokeile

Voit liikutella suoraa pisteistä A ja B. Näet suoran yhtälön ratkaisussa muodossa sekä normaalimuodossa.

Vanhoja YO-tehtäviä

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen.

1. Suora y = 3 - 3x rajaa positiivisten koordinaattiakseleiden kanssa kolmion. Millä kulmakertoimen k arvolla suora y = kx jakaa tämän kolmion kahteen pinta‐alaltaan yhtä suureen osaan?

Syksy 2015

k = 3

2. Alla on kolmen suoran kuvaajat. Esitä niiden yhtälöt muodossa y = kx + b. Perusteluita ei tarvita.

1: y=2x

2: y=-x+1

3: y=-1/2

3. Yksinkertaistetun mallin mukaan ilman lämpötila laskee lineaarisesti korkeuden h suhteen noin 11 kilometriin saakka. Merenpinnan tasolla h = 0 keskilämpötila on +15 celsiusastetta ja 11 kilometrin korkeudella -56 celsiusastetta.

a) Kuinka monta astetta ilma jäähtyy, kun noustaan 5,0 kilometrin korkeudelta 1,0 kilometriä ylöspäin?

b) Määritä ilman lämpötilan lauseke T =T(h) korkeuden h avulla lausuttuna ja piirrä sen kuvaaja (h,T) ‐koordinaatistoon, kun 0 ≤ h ≤ 11 km.

Kevät 2015

a) 6,5 astetta

b) T(h) = -71/11h + 15

4. Liito-oravan vaakasuora siirtymä suoraviivaisessa liidossa on parhaimmillaan 3,3-kertainen korkeuden vähenemiseen verrattuna.

a) Huippukuntoinen liito-orava aikoo liitää 60 metriä leveän aukion yli. Kuinka korkealta puusta sen täytyy ponnistaa, jotta se laskeutuisi aukion toisella puolella olevaan puuhun yhden metrin korkeudelle? Anna vastaus metrin tarkkuudella.

b) Kuinka suuressa kulmassa vaakatasoon nähden a-kohdan liito-orava liitää? Anna vastaus asteen tarkkuudella.

Syksy 2014

a) 19 metriä

b) 17 astetta alaviistoon