Ympyrä

Pinta-ala ja kehän pituus

Esimerkki 1

Ympyrän kehän pituus on 12. Määritä ympyrän pinta-ala.

Esimerkki 2

Ympyrän halkaisija on 20. Määritä ympyrän pinta-ala.

Esimerkki 3

Ympyrän kehän pituuteen lisätään yksi metri. Kuinka paljon ympyrän säde kasvaa?

Olkoon säde alussa r. Merkitään uutta sädettä r+x ja lisätään kehän pituuteen 1.

Säde kasvaa siis 0,16 metriä, eli 16 cm.

Ympyräsektori ja segmentti

Esimerkki 4

Määritä sektorin pinta-ala ja kaaren pituus.



Ympyrän säde on 2,5 ja keskuskulma 80°

Esimerkki 5

Laske segmentin pinta-ala ja piiri.


Segmentin pinta-ala saadaan, kun lasketaan sektorin ala ja vähennetään siitä tasakylkisen kolmion ala. Kolmion pinta-alan laskeminen kahden sivun ja näiden välisen kulman avulla on käyty läpi pinta-ala -osiossa.


Segmentin piiri koostuu tasakylkisen kolmion kannasta sekä sektorin kaaresta. Määritetään muodostuvan suorakulmaisen kolmion avulla haettu kanta. Merkitään haetun kannan puolikasta kirjaimella x.

Nyt voimme laskea segmentin piirin.

Ympyrän tangentti

Ympyrän tangentit sivuavat ympyrää yhdessä kohtaan ja ovat aina kohtisuorassa sädettä vastaan.

Esimerkki 6

Kuinka kaukana piste A on ympyrästä?

Pisteestä A piirretään jana ympyrän keskipisteeseen. Tämä jana on muodostuvan suorakulmaisen kolmion hypotenuusa. Kun siitä vähennetään säde, saadaan pisteen A etäisyys ympyrästä.

Esimerkki 7

Liisa-Petterin ilmapallo pääsi karkuun. Ilmapallon läpimitta oli 10 metriä. Kuinka kaukana pallo oli, kun se näkyi 18° kulmassa?

Hahmotellaan tilanne.

Ilmapallon säde on 5 ja muodostuvan suorakulmaisen kolmion sädettä vastassa olevan kulman suuruus 9° . Etäisyys pallosta on suorakulmaisen kolmion hypotenuusa vähennettynä ilmapallon säteellä.

Keskuskulma ja kehäkulma

Kehäkulma on puolet keskuskulmasta. Kaikki kehäkulmat, joista näkyy sama ympyrän kaari, ovat yhtäsuuria.

Oheisessa ympyrässä kulma 𝛂 on myös 35° . Kehäkulmia vastaava keskuskulma 𝛽 =70° .

Vanhoja YO-tehtäviä

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen

1. Ympyrä, jonka säde on r. sivuaa kulman toista kylkeä ja erottaa toisesta kyljestä säteen pituisen jänteen. Ympyrän keskipiste on kulman sisällä ja etäisyydellä 3r sen kärjestä. Laske kulma 0,10:n tarkkuudella.

Syksy 70

38,9 astetta

2. Ympyrään, jonka säde on 5, piirretään samalle puolelle keskipistettä yhdensuuntaiset jänteet AB = 5 ja CD = 7. Laske pisteisiin A ja C piirrettyjen säteiden muodostama kulma 0,l0 :n tarkkuudella. (Pisteet A ja C ovat jänteiden keskinormaalin samalla puolella. )

Kevät 71

28,9 astetta

3. Ympyränsegmentin jänne on 6 ja korkeus 2. Laske vastaava keskuskulma.

Syksy 82

135 astetta

4. Saarella, jonka pinta-ala on 3,00 ha, on kahden talon välinen etäisyys 200 m. Voiko saari olla ympyrän muotoinen?

Syksy 88

Ei voi. Tällöin halkaisija olisi vain 195 metriä.

5. Maapallo, jonka säde on 6400 km, kiertää vuodessa kerran auringon ympäri 150 miljoonan kilometrin etäisyydellä. Kuinka monessa minuutissa maa kulkee halkaisijansa pituisen matkan? Maan kiertorataa voidaan pitää ympyränä.

Kevät 91

3,6 minuuttia

6. Ympyrän muotoisen levyn säde on 35 mm. Levyyn porataan pyöreä reikä, jonka säde on 24 mm. Laske näin saadun rei'itetyn levyn pinta-ala.

Syksy 92

2040 mm²

7. Tuhansia vuosia sitten käytetyn kaavan mukaan ympyrän ala on likimain (8/9·halkaisija)². Mikä luvun π likiarvo sijoitettuna kaavaan A = πr² antaa saman tuloksen? Vastaus kolmen desimaalin tarkkuudella.

Syksy 95

3,160

8. Suorakulmaisen kolmion ABC kateettien pituudet ovat AB = 3 ja BC = 4. Ympyrän keskipiste sijaitsee pidemmällä kateetilla. Lisäksi ympyrä kulkee pisteen B kautta ja sivuaa kolmion hypotenuusaa. Määritä ympyrän säde.

Syksy 2015

r = 3/2

Osion perustehtävät